Question

3．如图所示，两足够长的平等光滑金属导轨安装在一倾角为θ的光滑绝缘斜面上，导轨间距为L，电阻忽略不计，一宽度为d的有界匀强磁场垂直于斜面向上，磁感应强度为B，另有一长为2d的绝缘杆将一导体棒和一边长为d（d＜L）的正方形导线框连在一起组成固定装置．总质量为m，导体棒中通有大小恒温I的电流，将该装置置于导轨上，开始时导体棒恰好位于磁场的下边界处，由静止释放后装置沿斜面向上运动，当线框的下边运动到磁场的上边界MN处时装置的速度恰好为零．重力加速度大小为g．
（1）求刚释放时装置加速度的大小；
（2）求上述运动过程中线框中产生的热量；
（3）装置速度为零后将向下运动，然后再向上运动，经过若干次往返，最终装置将在斜面上做稳定的往复运动，求稳定后装置运动的最高位置与最低位置之间的距离．

Answer 1

分析 （1）根据装置的受力情况，由牛顿第二定律求加速度的大小．
（2）在运动过程中装置的动能变化量为零，根据动能定理求出克服安培力做功，即可得到产生的热量．
（3）稳定后，装置运动到最高位置与最低位置的速度，由动能定理可求得最低位置时金属棒距离上边界的距离．装置往复运动的最高位置：线框的上边位于磁场的下边界，此时导体棒距磁场上边界d，可得装置运动的最高位置与最低位置之间的距离为x+d．

解答 解：（1）刚释放时，根据牛顿第二定律得 ma=BIL-mgsinθ　　　　　　　　　　　　　　　　　　
可得加速度大小为 a=$\frac{BIL}{M}$-gsinθ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（2）设装置由静止释放到线框的下边运动到磁场的上边界MN的过程中，安培力对线框做功的大小为W，根据动能定理有：
 0-0=BILd-mgsinθ•4d-W　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 
解得 W=BILd-4mgdsinθ　　　　　　　　　　　　　　　　　　
线框中产生的热量 Q=W=BILd-4mgdsinθ 　　　　　　　　　　
（3）装置往复运动的最高位置：线框的上边位于磁场的下边界，此时导体棒距磁场上边界d；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
往复运动到最低位置时，金属棒在磁场内，设距离上边界为x，则功能关系得
 mgsinθ•（x+d）=BIL•x   　　　　　　　　　　　　　　　　　 
可解出x=$\frac{mgdsinθ}{BIL-mgsinθ}$    　　　　　　　　　　　　　　　　　
装置运动的最高位置与最低位置之间的距离为
x+d=$\frac{mgdsinθ}{BIL-mgsinθ}$+d=$\frac{BILd}{BIL-mgsinθ}$
答：（1）刚释放时装置加速度的大小是$\frac{BIL}{M}$-gsinθ；
（2）上述运动过程中线框中产生的热量是BILd-4mgdsinθ．
（3）装置运动的最高位置与最低位置之间的距离为$\frac{BILd}{BIL-mgsinθ}$．

点评 当线框产生感应电流时，由安培力做功从而产生热量．因安培力不恒定，所以运用动能定理求安培力做功从而得产生的热量，也可利用能量守恒定律解题．