Question

13．在水平转台上放一个质量为M的木块，静摩擦因数为μ，转台以角速度ω匀速转动时，细绳一端系住木块M，另一端通过转台中心的小孔悬一质量为m的木块，如图所示，求m与转台能保持相对静止时，M到转台中心的最大距离R₁和最小距离R₂．

Answer 1

分析 质量为M的物体靠绳子的拉力和静摩擦力的合力提供向心力，当摩擦力达到最大静摩擦力且指向圆心时，转动半径最大，当摩擦力达到最大静摩擦力且方向背离圆心时，转动半径最小，根据向心力公式列式即可求解．

解答 解：M在水平面内转动时，平台对M的支持力与Mg相平衡，拉力与平台对M的摩擦力的合力提供向心力．
设M到转台中心的距离为R，M以角速度ω转动所需向心力为Mω²R，
若Mω²R=T=mg，此时平台对M的摩擦力为零．
若R₁＞R，Mω²R₁＞mg，平台对M的摩擦力方向向左，
由牛顿第二定律：
f+mg=Mω²R₁，当f为最大值μMg时，R₁最大．
所以，M到转台的最大距离为：R₁=$\frac{（μMg+mg）}{{Mω}^{2}}$．
若R₂＜R，Mω²R₂＜mg，平台对M的摩擦力水平向右，
由牛顿第二定律．
mg-f=Mω²R₂
f=μMg时，R₂最小，最小值为R₂=（mg-μMg）/Mω²．
答案：最大距离为R₁=（μMg+mg）/Mω²；最小距离
R₂=$\frac{mg-μMg}{{Mω}^{2}}$．
答：M到转台中心的最大距离是$\frac{（μMg+mg）}{{Mω}^{2}}$，最小距离是$\frac{mg-μMg}{{Mω}^{2}}$．

点评 本题是圆周运动中临界问题，抓住当M恰好相对此平面滑动时静摩擦力达到最大，由牛顿第二定律求解半径的取值范围．