Question

如图所示，光滑金属导体ab和cd水平固定，相交于O点并接触良好，∠aOc=60°．一根轻弹簧一端固定，另一端连接一质量为m的导体棒ef，ef与ab和cd接触良好．弹簧的轴线与∠bOd平分线重合．虚线MN是磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场的边界线，距O点距离为L．ab、cd、ef单位长度的电阻均为r．现将弹簧压缩，t=0时，使ef从距磁场边界处由静止释放，进入磁场后刚好做匀速运动，当ef到达O点时，弹簧刚好恢复原长，并与导体棒ef分离．已知弹簧形变量为x时，弹性势能为，k为弹簧的劲度系数．不计感应电流之间的相互作用．
（1）证明：导体棒在磁场中做匀速运动时，电流的大小保持不变；
（2）求导体棒在磁场中做匀速运动的速度大小v和弹簧的劲度系数k；
（3）求导体棒最终停止位置距O点的距离．

Answer 1

【答案】分析：（1）设速度为v，求解出电流的一般表达式分析即可；
（2）先根据棒加速过程中机械能守恒列式，再根据匀速过程受力平衡列式，联立后解方程组即可；
（3）从O点开始只受安培力，根据牛顿第二定律求出加速度的一般表达式，然后两边同时乘以时间间隔，最后将各个微元相加就可以得到结论．
解答：解：（1）设匀速直线运动的速度为v，ef有效切割长度为l，则电流：，由于v不变，所以I不变．
（2）由能量守恒，得：
设弹簧形变量为x，由平衡条件，得：2BIxtan30°=kx
解得 v₀ = k=
（3）ef越过O点后，与弹簧脱离，设导体棒最终停止位置距O点的距离为x，某时刻回路中ef有效切割长度为L₁，ef的速度为v，加速度为a，电流为I，据牛顿第二定律，得：-BIL₁=ma
电流 I== 得：-=ma
取一小段时间△t，速度微小变化为△v，回路面积微小增加为△S，则-△t=ma△t
即：-∑△t=∑ma△t
-∑L₁v△t=m∑a△t
-∑△S=m∑△v
-x²tan30°=0-mv
将 v=代入，得：
x ₀=
答：（1）导体棒在磁场中做匀速运动时，电流的大小保持不变；
（2）导体棒在磁场中做匀速运动的速度大小为，弹簧的劲度系数k为；
（3）导体棒最终停止位置距O点的距离为．
点评：本题关键分析清楚导体棒的运动情况，同时要结合机械能守恒定律和牛顿第二定律列式分析；对于第三问，要采用微元法解题，较难！