Question

2．如图所示，竖直平面内有一直角坐标系XOY，X轴的正半轴为光滑绝缘水平轨道，负半轴没有轨道，BCP三点都在X轴上，直线MB与Y轴平行，PQ是一个竖直屏，Y轴右边有水平向左的匀强磁场E₁，MB左边有水平向上的匀强磁场E₂，MB和Y轴间没有电场，MB右边和圆C内有垂直纸面向外磁感应强度为B的匀强磁场（电场和磁场都没有画出），一个带正电的小球从A点静止释放，沿直线AB进入圆形磁场，已知：①圆C的半径为R=$\sqrt{3}$L；②小球的电荷量为q，质量为m；③重力加速度为g；④B=$\frac{m}{3qL}\sqrt{3gL}$；⑤PC间的距离是3$\sqrt{3}$L；⑥E₁=E₂=$\frac{mg}{q}$．求：

（1）A点的坐标．
（2）小球打到屏PQ上的点到P点距离．
（3）当小球离开圆形磁场瞬间，保持原有条件不变，再在MB左边加一个新的方向与X负半轴方向成30°斜向左下的匀强磁场E₃，小球刚好垂直打到屏PQ上，求E₃的大小．

Answer 1

分析 （1）小球在MN与y轴之间做直线运动，所以小球受到的洛伦兹力与重力大小相等，方向相反，由此求出小球的速度，然后又动能定理即可求出A点的位置：
（2）小球在圆形磁场中受到重力、洛伦兹力和电场力的作用，做匀速圆周运动，出磁场的区域后做匀速直线运动，由此即可求出P点的纵坐标；
（3）再在MB左边加一个新的方向与X负半轴方向成30°斜向左下的匀强磁场E₃，则小球做类平抛运动，由速度方向的变化与类平抛运动的规律即可求解．

解答 解：（1）由题意，小球在MN与y轴之间受到的洛伦兹力与重力大小相等，方向相反，即：qvB=mg
所以：$v=\frac{mg}{qB}=\frac{mg}{q×\frac{m}{3qL}\sqrt{3gL}}=\sqrt{3gL}$
A到O的过程中，只有电场力做功，由动能定理得：$q{E}_{1}s=\frac{1}{2}m{v}^{2}-0$
所以：s=$\frac{m{v}^{2}}{2q{E}_{1}}=\frac{m×3gL}{2q×\frac{mg}{q}}=\frac{3}{2}L$=1.5L
A点的坐标是（1.5L，0）
（2）小球在圆形磁场中受到重力、洛伦兹力和电场力的作用，电场力：${qE}_{2}=q•\frac{mg}{q}=mg$方向向上，与重力大小相等，所以小球在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，$qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$
得：$r=\frac{mv}{qB}=\frac{m•\sqrt{3gL}}{q×\frac{m}{3qL}\sqrt{3gL}}=3L$
做出小球在磁场中运动的轨迹如图，则：

$tanθ=\frac{R}{r}=\frac{\sqrt{3}L}{3L}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
所以：θ=30°
小球的偏转角是2θ=60°
出磁场的区域后做匀速直线运动，与x轴的夹角是60°，所以：$PQ=PO•tan60°=3\sqrt{3}L×\sqrt{3}=9L$
（3）在MB左边加一个新的方向与X负半轴方向成30°斜向左下的匀强磁场E₃，则小球由于原来受到的电场力与重力平衡，所以小球做类平抛运动，初速度的方向与E₃的方向垂直，所以沿初速度的方向：x=vt    ①
沿E₃的方向：$a=\frac{q{E}_{3}}{m}$，$y=\frac{1}{2}a{t}^{2}$    ②
由于∠PQO=90°-60°=30°
所以：$x=\frac{PQ}{cos30°}-R-\frac{y}{tan30°}=6\sqrt{3}L-\sqrt{3}L-\sqrt{3}y=5\sqrt{3}L-\sqrt{3}y$    ③
又有：v_y=at④
${v}_{y}=\frac{v}{tan30°}=\sqrt{3}v$  ⑤
联立以上方程，解得：$x=2\sqrt{3}L$，y=3L，$t=2\sqrt{\frac{L}{g}}$，${E}_{3}=\frac{3mg}{2q}$．
答：（1）A点的坐标是（1.5L，0）．（2）小球打到屏PQ上的点到P点距离是9L．（3）E₃的大小是$\frac{3mg}{2q}$．

点评 该题中，物体在几种不同的情况下，压的情况是不同的，正确对小球进行受力分析，画出小球的运动的轨迹，然后在结合运动的轨迹与已知的各长度之间的几何关系解得是常规的解题思路．