Question

5．在天文学中把两个距离较近相互环绕运行的恒星叫做双星．如图所示，某双星在相互的万有引力作用下互相绕着双星连线上某一点作匀速圆周运动，其他天体由于和它们的距离较大而忽略其他天体对它们的万有引力作用，已知某双星质量分别为m₁和m₂，它们相距L，求它们各自的运行半径及角速度．（提示：双星的角速度相等）

Answer 1

分析 双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度．对m₁：G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}$=m₁r₁ω²，对m₂：G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}$=m₂r₂ω²．

解答 解：双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度，
对m₁：G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}$=m₁r₁ω²，
对m₂：G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}$=m₂r₂ω²
得：m₁r₁=m₂r₂，
己知两颗恒星间距离为L、质量之比m₁：m₂=r₂：r₁，
所以r₁=$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}L$，r₂=$\frac{{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$L
角速度ω=$\frac{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}{{L}^{3}}$
答：它们各自的运行半径为$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}L$，$\frac{{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$L；角速度为$\frac{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}{{L}^{3}}$．

点评 本题主要考查了双星系统的特点，知道双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的周期，难度不大，属于中档题