Question

如图所示，水平地面与一半径为l的竖直光滑圆弧轨道相接于B点，轨道上的C点位置处于圆心O的正下方．距地面高度为l的水平平台边缘上的A点，质量为m的小球以v0=

2gl

的速度水平飞出，小球在空中运动至B点时，恰好沿圆弧轨道在该点的切线方向滑入轨道．小球运动过程中空气阻力不计，重力加速度为g，试求：
（1）B点与抛出点A正下方的水平距离x；
（2）圆弧BC段所对的圆心角θ；
（3）小球滑到C点时，对轨道的压力．

Answer 1

分析：（1）根据高度求出平抛运动的时间，结合初速度和时间求出平抛运动的水平距离．
（2）因为小球在空中运动至B点时，恰好沿圆弧轨道在该点的切线方向滑入轨道．通过小球的速度方向求出圆弧BC段所对的圆心角θ；
（3）求出小球在B点的速度，根据动能定理求出小球运动到C点的速度，根据牛顿第二定律求出支持力的大小，从而求出小球对轨道的压力．

解答：解：（1）根据l=

1

2

gt2，解得t=

2l g

．
则水平距离x=v0t=

2gl

?

2l g

=2l．
（2）小球到达B点时，竖直方向上的分速度vy=gt=

2gl

，因为v0=

2gl

．
则小球速度与水平方向的夹角为45°
根据几何关系知，圆弧BC段所对的圆心角θ为45度．
（3）vB=

2

v0=2

gl

．
根据动能定理得，mgl（1-cos45°）=

1

2

mvc2-

1

2

mvB2
N-mg=m

vc2

l

联立解得N=（7-

2

）mg．
则小球滑到C点时，对轨道的压力为（7-

2

）mg．
答：（1）B点与抛出点A正下方的水平距离为2l．
（2）圆弧BC段所对的圆心角θ为45度．
（3）小球滑到C点时，对轨道的压力为（7-

2

）mg．

点评：本题综合考查了动能定理、牛顿第二定律，以及设计到平抛运动、圆周运动，综合性较强，是一道好题．