Question

（2011?浙江模拟）如图，在直角坐标系xoy中，点M（0，1）处不断向+y方向发射出大量质量为m、带电量为-q的粒子，粒子的初速度大小广泛分布于零到v₀之间．已知这些粒子此后所经磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，所有粒子都沿+x方向经过b区域，都沿-y的方向通过点N（3，0）．
（1）通过计算，求出符合要求的磁场范围的最小面积；
（2）若其中速度为k₁v₀和k₂v₀的两个粒子同时到达N点（1＞k₁＞k₂＞0），求二者发射的时间差．

Answer 1

分析：带电粒子沿y轴正方向射入，在磁场的洛伦兹力作用下发生偏转，然后所以粒子沿+x方向经过b区域，则磁场的右边界由数学关系推导出与R无关，而是一条直线．那么磁场的左边界则是一段圆弧，其半径由洛伦兹力提供向心力公式求解得．由于对称，则可求出磁场的最小面积．两种粒子在磁场中运动时间是相等，它们发射的时间差是因速度不同导致的．

解答：解

（1）在a区域，设任一速度为v的粒子偏转90°后从（x，y）离开磁场，
由几何关系有x=R，y=R+

mv0

qB

，
    得y=x+

mv0

qB

，
上式与R无关，说明磁场右边界是一条直线
左边界是速度为v₀的粒子的轨迹：qv0B=m

v02

R0

，得：R0=

mv0

qB

此后粒子均沿+x方向穿过b区域，进入c区域，由对称性知，其磁场区域如图．
磁场的面积S=2(

1

4

πR02-

1

2

R02)=(

π

2

-1)

m2v02

q2B2

（2）如图所示，速度为k₁v₀的粒子在a区域磁场的时间为t1=

πm

2qB

两个阶段的直线运动的时间共为t2=

3 mv0 qB -2 mk1v0 qB

k1v0

=(

3

k1

-2)

m

qB

在c区域磁场的时间为t3=

πm

2qB

所以这两个粒子的发射时间差只与t₂有关
速度为k₂v₀的粒子在直线运动阶段的时间为

t

′ 2

=(

3

k2

-2)

m

qB

    △t=(

3

k2

-2)

m

qB

-(

3

k1

-2)

m

qB

=

3m

qB

(

1

k2

-

1

k1

)

点评：利用数学表达式，导出磁场右边界的函数关系式．同时相同粒子不同速度在磁场中的时间是相等，由于速度的不同，导致直线运动中时间不一．