Question

18．如图，竖直面内坐标系xOy第一、三象限角平分线A₁A₂右侧场区有匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场B．平行板M、N如图放置，M板带正电，带负电的N板在x轴负半轴上．N板上有一小孔P离原点O的距离为L，两板间距为L．板间电压U=$\frac{mgL}{q}$．质量为m、电量为+q的带电粒子由板间P孔正上方不同位置静止释放，竖直向下穿过P孔进入平分线A₁A₂右侧场区恰好能做匀速圆周运动，重力加速度为g．求：
（1）虚线A₁A₂右侧区域内电场强度的大小与方向．
（2）若粒子第一次离开场区时在坐标原点，则其离开时的速度为多大？
（3）从P孔正上方靠近M板由静止释放粒子，当粒子离开小孔P后立即撤去平行板M、N，求释放后经过多长时间粒子可第二次进入A₁A₂右侧场区？

Answer 1

分析 （1）粒子做匀速圆周运动，电场力应等于重力，据此求出电场强度的大小与方向；
（2）作出粒子运动轨迹，求出粒子轨道半径，应用牛顿第二定律可以求出粒子的速度；
（3）根据粒子运动过程求出粒子在各阶段的运动时间，然后求出粒子总的运动时间．

解答 解：（1）带电粒子进入场区后能做匀速圆周运动，
则必须满足：qE=mg，解得：E=$\frac{mg}{q}$，方向：竖直向上；
（2）粒子第一次离开场区时在坐标原点其运动轨迹如图所示：

由几何知识可知，粒子轨道半径：r=L，
粒子做圆周运动洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：v=$\frac{qBL}{m}$；
（3）粒子在极板间运动时，由动能定理得：（q$\frac{U}{L}$+mg）L=$\frac{1}{2}$mv₁²-0，
粒子在极板间做初速度为零的匀加速直线运动，位移：L=$\frac{{v}_{1}}{2}$t₁，
粒子离开极板进入场区过程中，由动能定理得：mgL=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₁²，
粒子做匀加速直线运动，位移：L=$\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}$t₂，
粒子做圆周运动的时间：t₃=$\frac{3}{4}$T=$\frac{3}{4}$×$\frac{2πm}{qB}$，
粒子离开场区后做平抛运动，$\frac{1}{2}$gt₄²=v₂t₄，
粒子的运动时间：t=t₁+t₂+t₃+t₄，
解得：t=$\sqrt{\frac{54L}{g}}$-$\sqrt{\frac{L}{g}}$+$\frac{3πm}{2qB}$；
答：（1）虚线A₁A₂右侧区域内电场强度的大小为：$\frac{mg}{q}$，方向：竖直向上．
（2）若粒子第一次离开场区时在坐标原点，则其离开时的速度为$\frac{qBL}{m}$；
（3）从P孔正上方靠近M板由静止释放粒子，当粒子离开小孔P后立即撤去平行板M、N，释放后经过时间：$\sqrt{\frac{54L}{g}}$-$\sqrt{\frac{L}{g}}$+$\frac{3πm}{2qB}$粒子可第二次进入A₁A₂右侧场区．

点评 粒子在复合场中做匀速圆周运动，则电场力与重力合力为零，洛伦兹力提供向心力，分析清楚粒子运动过程是正确解题的关键，应用数学知识、牛顿第二定律、动能定理即可正确解题．