Question

12．如图甲所示，粗糙的水平面上固定一倾斜角为θ=30°的光滑斜面，紧靠斜面底端有一质量M=0.8kg的木板B，一质量m=1.2kg的滑块A从斜面顶端由静止滑下，并以到达斜面底端的速度大小v₀滑上木板B的左端，之后两者发生相对滑动，运动到相同速度后一起做匀减速到停止．当滑块滑上木板后，滑块和木板的v-t 图象如图乙所示，已知滑块与木板之间动摩擦因素μ_A=0.15，木板与地面之间动摩擦因素μ_B=0.05，取g=10m/s²．求
（1）斜面的长度L；
（2）滑块A从滑上木板B到两者达到相同速度所需时间t₁；
（3）整个过程中，木板B通过的位移s．

Answer 1

分析 （1）滑块从斜面上滑下时做匀加速运动，由图乙知滑块到达斜面底端时速度 v₀=5 m/s，由牛顿第二定律求得滑块下滑的加速度，再由速度位移公式求斜面的长度L；
（2）滑块在木板上相对滑动时，做匀减速运动，由牛顿第二定律求两者的加速度，再由速度时间公式求滑块A从滑上木板B到两者达到相同速度所需时间t₁；
（3）整个过程中，木板B通过的位移s等于匀加速运动的位移和后来匀减速运动的位移之和．先由位移公式求匀加速运动的位移．再由牛顿第二定律求出滑块与木板一起匀减速运动的加速度，再由速度公式求滑行的位移，从而得解．

解答 解：（1）滑块从斜面上滑下时，由受力分析和牛顿第二定律，有
   mgsinθ=ma          
由运动学公式有  v₀²-0=2aL        
由图象可知滑块到达斜面底端时速度  v₀=5 m/s      
联解上面各式得斜面的长度  L=2.5 m    
（2）滑块在木板上相对滑动时，做匀减速运动，由牛顿第二定律，
有  μ_Amg=ma_A 
代入数据解得滑块的加速度大小 a_A=1.5 m/s²  
木板做匀加速运动，由受力分析及牛顿第二定律，有
  μ_Amg-μ_B（m+M）g=Ma_B 
代入数据解得木板B的加速度大小  a_B=1 m/s²  
两者共速时，有   v₀-a_At₁=a_Bt₁ 
代入数据解得时间  t₁=2 s  
（3）木板做匀加速运动时，通过的位移 s₁=$\frac{1}{2}$a_Bt₁²  
代入数据解得位移  s₁=2 m    
滑块与木板达到共同速度 v=a_Bt₁=2 m/s  
 滑块与木板一起做匀减速运动时，
由牛顿第二定律，有  μ_B（m+M） g=（m+M）a_B   
代入数据解得加速度大小  a_AB=0.5 m/s²   
由运动学公式，有    v²=2a_AB S₂    
代入数据解得位移  s₂=4 m    
木板运动的位移 s=s₁+s₂=6 m
[第（3）问的解法二：滑块与木板达到共同速度 v=a_Bt₁=2 m/s  
滑块与木板一起做匀减速运动时，
由牛顿第二定律，有  μ_B（m+M）g=（m+M）a_B  
代入数据解得加速度大小  a_AB=0.5 m/s²  
两者一起做匀减速运动时间 t₂=$\frac{v}{aAB}$ 
代入数据解得 t₂=4 s
木板总运动时间 t=t₁+t₂=6 s  
木板运动的位移 s=$\frac{v}{2}$ t  
代入数据解得 s=6 m 
答：
（1）斜面的长度L是2.5m；
（2）滑块A从滑上木板B到两者达到相同速度所需时间t₁是2s；
（3）整个过程中，木板B通过的位移s是6m．

点评 分析清楚物体的运动情况，运用牛顿第二定律和运动学公式分段研究，分析时要抓住两个物体位移关系、速度关系和加速度关系．