Question

7．某行星表面没有气体，在它的表面附近作匀速圆周运动的卫星的环绕周期为T，如果宇航员在这个行星地面上以初速度V₀竖直向上抛出一石块，石块经过时间t再次回到宇航员手中．已知万有引力恒量为G，求该行星的质量及平均密度？

Answer 1

分析 在天上飞就列万有引力提供向心力的公式，在地面上求出重力加速度，列黄金代换的公式，密度ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$，联立求解即可．

解答 解：卫星在表面附近，可认为其轨道半径r等于行星半径R，设行星质量M，卫星质量m，
由万有引力提供向心力得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R$，
解得：GM=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{{T}^{2}}$…①
在星球上：设行星表面重力加速度为g，由：V₀=g•$\frac{t}{2}$得：g=$\frac{2{V}_{0}}{t}$，
由黄金代换：GM=gR²
得：GM=$\frac{2{V}_{0}{R}^{2}}{t}$…②
密度ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$…③
联立①②③解得：M=$\frac{{V}_{0}^{3}{T}^{4}}{2G{π}^{4}{t}^{3}}$
密度ρ=$\frac{3{T}^{2}}{8G{π}^{5}}$
答：该行星的质量为：$\frac{{V}_{0}^{3}{T}^{4}}{2G{π}^{4}{t}^{3}}$；平均密度为$\frac{3{T}^{2}}{8G{π}^{5}}$．

点评 万有引力与航天的题目，在天上就列万有引力提供向心力的公式，在地面上就列黄金代换的公式，是处理这类题目的通法．