Question

4．如图所示，在坐标系xOy第二象限内有一圆形匀强磁场区域（图中未画出），磁场方向垂直xOy平面．在x轴上有坐标（-2l₀，0）的P点，三个电子a、b、c以相等大小的速度沿不同方向从P点同时射入磁场区，其中电子b射入方向为+y方向，a、c在P点速度与b速度方向夹角都是θ=$\frac{π}{3}$．电子经过磁场偏转后都垂直于y轴进入第一象限，电子b通过y轴Q点的坐标为y=l₀，a、c到达y轴时间差是t₀．在第一象限内有场强大小为E，沿x轴正方向的匀强电场．已知电子质量为m、电荷量为e，不计重力．求：
（1）电子在磁场中运动轨道半径和磁场的磁感应强度B．
（2）电子在电场中运动离y轴的最远距离x．
（3）三个电子离开电场后再次经过某一点，求该点的坐标和先后到达的时间差△t．

Answer 1

分析 （1）连接两个圆心、入射点和出射点构成的平行四边形，得到当圆形磁场区域半径等于粒子做圆周运动的半径时，从磁场边缘的一点向各个方向射出的粒子，偏转后平行射出，由几何关系得到轨道半径，然后根据洛伦兹力提供向心力列式求解；
（2）电子进入电场后做匀减速直线运动，根据动能定理列式求解；
（3）连接两个圆心、入射点和出射点构成的平行四边形，得到当圆形磁场区域半径等于粒子做圆周运动的半径时，宽度与磁场直径相等的粒子束经过磁场后汇聚一点，然后作出三个粒子束的轨迹图后进行分析．

解答 解：（1）三电子轨迹如图所示：

由图示，根据几何知识可得：R=l₀，
设a、c到达y轴时间差为t₀，其中它们离开磁场后到达y轴时间是相等的，
在磁场区中a转过30°圆心角，时间t_a=$\frac{T}{12}$，c转过150°圆心角，时间t_c=$\frac{5T}{12}$，
电子在磁场中做圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{eB}$，
则：t₀=t_b-t_a=$\frac{T}{3}$=$\frac{2πm}{3e{B}_{0}}$，解得：B₀=$\frac{2πm}{3e{t}_{0}}$；
（2）电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：ev₀B₀=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{R}$，解得：v₀=$\frac{e{B}_{0}R}{m}$=$\frac{2π{l}_{0}}{3{t}_{0}}$，
在电场中，由动能定理得：-eEx₁=0-$\frac{1}{2}$mv${\;}_{0}^{2}$，解得：x₁=$\frac{2{π}^{2}m{l}_{0}^{2}}{9eE{t}_{0}^{2}}$；
（3）电子离开电场再次返回磁场轨迹如图所示：

坐标：x=-2l₀，y=2l₀，
由运动的对称性可知，
a、c同时到达，与b比较磁场中运动时间都是半个周期，
电场中运动时间也都相等，所以时间差为在非场区：
△t=2（$\frac{3{l}_{0}}{2{v}_{0}}$-$\frac{{l}_{0}}{{v}_{0}}$），△t=$\frac{{l}_{0}}{{v}_{0}}$=$\frac{3{t}_{0}}{2π}$，b先到达．
答：（1）电子在磁场中运动轨道半径为l₀，磁场的磁感应强度B为$\frac{2πm}{3e{t}_{0}}$．
（2）电子在电场中运动离y轴的最远距离x为$\frac{2{π}^{2}m{l}_{0}^{2}}{9eE{t}_{0}^{2}}$．
（3）三个电子离开电场后再次经过某一点，该点的坐标为（-2l₀，2l₀），先后到达的时间差△t为$\frac{3{t}_{0}}{2π}$．

点评 本题考查了电阻在磁场与电场中的运动，分析清楚电子运动过程是正确解题的关键，画出粒子的运动轨迹图进行动态分析，然后结合几何关系并运用洛伦兹力提供向心力列式求解．