Question

14．如图，质量分别为4m和m的两个小球A、B固定在一根轻质直角尺的两端，AC、BC的长度分别为2L和L，在AC段的中点O处有光滑的固定转动轴，直角尺可绕转轴O在竖直平面内转动，开始时直角尺的AC部分处于水平位置．若要使AC部分保持水平，则需在小球B上施加的外力F的大小至少为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$mg，撤去外力后，让该系统由静止开始自由转动，不计空气阻力，当直角尺AC部分转到竖直方向时，小球A的速度大小v_A=$\sqrt{\frac{2gL}{3}}$．

Answer 1

分析 在力矩一定时，力臂越大，作用力越小，应用力矩平衡条件求出最小作用力；
直角尺转动过程，A、B的加速度相等，求出它们的线速度关系，对系统应用动能定理可以求出A的速度．

解答 解：如图所示，当力F与OB垂直时，F的力臂最大，作用力最小，

由几何知识可得：OB=$\sqrt{O{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{L}^{2}+{L}^{2}}$=$\sqrt{2}$L，
以O为支点，AC在水平位置平衡，由力矩平衡条件得：
4mgL=mgL+F•$\sqrt{2}$L，
解得：F=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$mg，
以直角尺和两小球组成的系统为对象，
A、B转动的角速度始终相同，由v=ωr可知：v_B=$\sqrt{2}$v_A，
AC由水平转到竖直位置过程中，对系统，由动能定理得：
4mgL-mg•2L=$\frac{1}{2}$•4mv_A²+$\frac{1}{2}$mv_B²-0，
解得：v_A=$\sqrt{\frac{2gL}{3}}$；
故答案为：$\frac{3\sqrt{2}}{2}$mg，$\sqrt{\frac{2gL}{3}}$．

点评 本题考查了求力与速度问题，应用力矩平衡条件与动能定理即可正确解题；本题在解题的过程中还要用到数学的三角函数的知识，要求学生的数学基本功要好．