Question

8．如图所示，小球A和B质量分别为m_A=0.3kg和m_B=0.5kg，两球间压缩一弹簧（不拴接），并用细线连接．静止于一光滑的水平平台上，烧断细线后，弹簧储存的弹性势能全部转化为两球的动能，小球B脱离弹簧时的速度v_B=3m/s，A球滑上用一小段光滑小圆弧连接的光滑斜面，当滑到斜面顶端时速度刚好为零．斜面的高度H=1.25m，B球滑出平台后刚好沿光滑固定圆槽左边顶端的切线方问进入槽中，圆槽的半径R=3m，圆槽所对的圆心角为120°，取重力加速度g=10m/s²，求：
（1）烧断细线前轻弹簧储存的弹性势能E_p；
（2）平台到圆槽的距离L；
（3）小球B滑到圆槽最低点时对糟的压力N′．

Answer 1

分析 （1）烧断细线后，A球刚好到达斜面顶端，根据动能定理求处细线烧断时A球的速度，再根据弹簧储存的弹性势能全部转化为两球的动能求解；
（2）B球滑出平台后做平抛运动，根据平抛运动的基本公式求解即可；
（3）先求出B球做平抛运动竖直方向距离，从抛出到最低点的过程中，根据动能定理求出到达最低点的速度，在最低点，根据向心力公式即可求解．

解答 解：（1）烧断细线后，A球刚好到达斜面顶端，根据动能定理得：
$\frac{1}{2}{m}_{A}{{v}_{A}}^{2}={m}_{A}gH$
解得：v_A=$\sqrt{2×10×1.25}=5m/s$，
弹簧储存的弹性势能全部转化为两球的动能，则有：
${E}_{P}=\frac{1}{2}{m}_{A}{{v}_{A}}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{B}{{v}_{B}}^{2}$=$\frac{1}{2}×0.3×25+\frac{1}{2}×0.5×9$=6J
（2）B球滑出平台后做平抛运动，刚好沿光滑固定圆槽左边顶端的切线方问进入槽中，
根据几何关系得：
进而圆弧轨道竖直方向速度${v}_{y}={v}_{B}tan60°=3\sqrt{3}m/s$，
则运动的时间t=$\frac{{v}_{y}}{g}=\frac{3\sqrt{3}}{10}s$，
水平方向做匀速运动，则有L=${v}_{B}t=\frac{9\sqrt{3}}{10}m$
（3）B球做平抛运动，竖直方向距离h=$\frac{{{v}_{y}}^{2}}{2g}=\frac{27}{20}=1.35m$，
从抛出到最低点的过程中，根据动能定理得：
$\frac{1}{2}{m}_{B}{v}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{B}{{v}_{B}}^{2}$=m_Bg（h+R-Rsin30°）①
在最低点，根据向心力公式得：
N-m_Bg=${m}_{B}\frac{{v}^{2}}{R}$②
由①②解得：
N=16N
根据牛顿第三定律可知，小球B滑到圆槽最低点时对糟的压力N′=N=16N．
答：（1）烧断细线前轻弹簧储存的弹性势能E_p为6J；
（2）平台到圆槽的距离L为$\frac{9\sqrt{3}}{10}m$；
（3）小球B滑到圆槽最低点时对糟的压力N′为16N．

点评 本题主要考查了平抛运动基本公式、向心力公式以及动能定理的直接应用，综合性较强，对同学们的能力要求较高，注意题目中的一些隐含条件的应用，如刚好沿光滑固定圆槽左边顶端的切线方问进入槽中，难度适中．