Question

3．如图所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动周期为T，已知星球相对飞行器的张角为θ，引力常量为G．求该星球的密度？

Answer 1

分析 根据几何关系求出飞行器的轨道半径，结合万有引力提供向心力求出星球的质量，从而得出星球的平均密度．

解答 解：设星球的半径为R，根据几何关系知，飞行器的轨道半径为：r=$\frac{R}{sin\frac{θ}{2}}$，
根据$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得星球的质量为：M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，
则星球的密度为：$ρ=\frac{M}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}=\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$=$\frac{3π}{G{T}^{2}si{n}^{3}\frac{θ}{2}}$．
答：星球的平均密度为$\frac{3π}{G{T}^{2}si{n}^{3}\frac{θ}{2}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，并能灵活运用，知道运用该理论只能求解中心天体质量，不能求解环绕天体质量．