Question

1．在光滑的水平面内，一质量m=1kg的质点以速度v₀=10m/s沿x轴正方向运动，经过原点后受一沿y轴正方向的恒力F₁=5N作用，质点的运动轨迹与直线OA相交于P点，直线OA与x轴正方向成37°角，如图所示，求：
（1）质点从O点运动到P点所经历的时间；
（2）P点的坐标；
（3）质点到达P点后，撤去恒力F₁，改施另一恒力F₂，F₂作用5s后，质点速度变为零．求恒力F₂的大小与方向．

Answer 1

分析 （1）、（2）质点做类平抛运动，将质点的运动分解为x轴方向和y轴方向，在x方向做匀速直线运动，在y方向做匀加速直线运动，结合牛顿第二定律和运动学公式进行分析求解时间和P点的坐标．
（3）由速度时间公式和速度的合成，求出到达P点时的速度，再求出F₂作用后的加速度，由牛顿第二定律求F₂．

解答 解：（1）质点做类平抛运动，初速度为 v₀=10m/s．
设质点在y方向的加速度为a₁，则 ${a_1}=\frac{F_1}{m}=5m/{s^2}$
质点到达P点时，有 tan37°=$\frac{y}{x}$=$\frac{\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}}{{v}_{0}t}$=$\frac{{a}_{1}t}{2{v}_{0}}$=$\frac{3}{4}$
解得  t=3s
（2）P点的横坐标 x=v₀t=10×3=30m
纵坐标 $y=\frac{1}{2}{a_1}{t^2}=\frac{1}{2}×5×9=22.5m$
故P点坐标为（30m，22.5m）．
（3）质点到达P点时，v_x=v₀=10m/s．v_y=a₁t₁=5×3=15m/s
P点的速度大小 $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{10_{\;}^2+15_{\;}^2}=5\sqrt{13}m/s$，$tanθ=\frac{v_y}{v_x}=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}$
即P点的速度方向与x轴正方向的夹角为 θ=arctan$\frac{3}{2}$
撤去恒力F₁，改施恒力F₂后，质点做匀减速直线运动至速度为零，设质点匀减速运动的加速度大小为a₂．
则 a₂=$\frac{v}{t′}$=$\frac{5\sqrt{13}}{5}$=$\sqrt{13}$m/s²；
故 F₂=ma₂=1×$\sqrt{13}$=$\sqrt{13}$N，其方向与速度方向相反，即F₂的方向与x轴负方向的夹角为 θ=arctan$\frac{3}{2}$．
答：
（1）质点从O点运动到P点所经历的时间是3s；
（2）P点的坐标为（30m，22.5m）；
（3）F₂的大小为$\sqrt{13}$N，F₂的方向与x轴负方向的夹角为arctan$\frac{3}{2}$．

点评 解决本题的关键对曲线运动的分解，理清分运动的规律，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．