Question

8．如图所示，水平地面上有一固定的长方形绝缘光滑水平台面其中OPQX边长 L₁=5m；QX边长L₂=4m，平台高h=3.2m．平行板电容器的极板CD间距d=1m，且垂直放置于台面，C板位于边界0P上，D板与边界OX相交处有一小孔．电容器外的区域内有磁感应强度B=1T、方向竖直向上的匀强磁场．质量m=1×10^-10kg电荷量q=1×10^-10c的带正电微粒静止于0处，在C D间加上电压U，C板电势高于D板，板间电 场可看成是匀强电场，板间微粒经电场加速后由D板所开小孔进入磁场（微粒始终不与极板接触，假定微粒在真空中运动，微粒在整个运动过程中电量保持不变，取g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6
（1）若微粒正好从的中点离开平台，求其在磁场中运动的速率；
（2）电压大小可调，不同加速电压，微粒离开平台的位置将不同，要求微粒由PQ边界离开台面，求加速电压V的范围；
（3）若加速电压U=3.125v 在微粒离开台面时，位于Q正下方光滑水平地面上A点的滑块获得一水平速 度，在微粒落地时恰好与滑块相遇，滑块视为质点，求滑块开始运动时的初速度．

Answer 1

分析 （1）作出粒子在磁场运动的俯视图，根据几何关系求出半径，结合粒子在磁场中的半径公式求出粒子在磁场中运动的速率．
（2）作出粒子在磁场中运动的临界轨迹图，结合半径公式求出速度，根据动能定理求出电压的范围．
（3）作出粒子运动的轨迹图，根据动能定理求出粒子的速度，从而结合半径公式求出粒子在磁场中运动的半径，通过几何关系和数学的余弦定理求出滑块开始的初速度．

解答 解：（1）微粒在磁场中运动俯视图如图所示，设运动半径为R，由几何关系得：
R₁²=（R₁-$\frac{{L}_{2}}{2}$）²+（L₁-d）²，
解得：R₁=5m，
根据牛顿第二定律得：qBv₁=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$，
解得：${R_1}=\frac{{m{v_1}}}{qB}$，
代入数据解得：v₁=5m/s．
（2）微粒在磁场中运动俯视示意图，临界轨迹如图所示．
微粒可以从Q点离开平台如线Ⅰ，R₂=4m，
在磁场中，有：${R_2}=\frac{{m{v_2}}}{qB}$，
代入数据解得：v₂=4m/s．
在电场中，有：$q{U_1}=\frac{1}{2}mv_2^2$，
代入数据解得：U₁=8V，
微粒轨迹与PQ边界相切如线Ⅱ，R₃=2m，
在磁场中，有：${R_3}=\frac{{m{v_3}}}{qB}$，
代入数据解得：v₃=2m/s，
在电场中，$q{U_2}=\frac{1}{2}mv_3^2$，
代入数据解得：U₃=2V．
则从PQ边界离开范围为：U₂＜U≤U₃，即：2V＜U≤8V．
（3）电场中：$q{U_3}=\frac{1}{2}mv_4^2$，代入数据解得：v₄=2.5m/s，
${R_4}=\frac{{m{v_4}}}{qB}$
代入数据解得：R₄=2.5m，
设离开点N与M的距离为x，由几何关系得：
$R_4^2={x^2}+（{L_2}-{R_4}{）^2}$，
代入数据解得：x=2m．
sinθ=$\frac{x}{{R}_{4}}$，
解得：θ=53°．
微粒在空中运动，竖直方向：$h=\frac{1}{2}g{t^2}$，t=0.8s，
水平方向上匀速运动，与物块在Z点相遇，设物块的位移为S，根据余弦定理：
$S=\sqrt{（{v_4}t{）^2}+{{\overline{NQ}}^2}-2{v_4}\overline{NQ}cos（180°-α）}=\sqrt{12.8}m$，
${v_0}=\frac{S}{t}=2\sqrt{5}m/s$
设速度方向与PQ的夹角为α，
vtcosα=2+v₄tcos53°，vtsinα=v₄tsin53°，
联立解得：tanα=$\frac{1}{2}$，
解得：α=arctan$\frac{1}{2}$=26.6°．
答：（1）在磁场中运动的速率为5m/s；
（2）加速电压的范围为2V＜U≤8V．
（3）滑块开始运动时的初速度为2$\sqrt{5}$m/s，初速度的方向与PQ的夹角为26.5°．

点评 该题考察的数学知识在物理中的应用，尤其是三角函数的应用．三角函数的应用在近几年高考试题中经常出现，尽管它只是起到运算作用，但是如果忘记了三角函数公式是无法进行下去的，自然得不到正确的结果．由于是物理试题，三角函数过程在解答过程可以不体现、只在草稿纸上画．
此方面的问题具体要做到以下两点：
（1）能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论．
（2）必要时能运用几何图形、函数图象进行表达、分析．