Question

5．在科学研究中，可以通过加适当的磁场来实现对带电粒子运动的控制，如图甲所示的xoy平面处于磁场中，磁场与xoy平面垂直，磁感应强度B随时间t做周期性变化，如图乙所示，一质量为m，带电荷量为+q的粒子（不计重力）以初速度V₀由O点沿x轴正方向射入磁场．各物理量满足t₀=$\frac{πm}{3q{B}_{0}}$．

（1）若t=0时粒子射入磁场，求t=t₀时粒子的位置坐标．
（2）若粒子在某一时刻t′射入磁场，粒子不会穿越x轴，且其纵坐标始终不超过某一定值y₀．

Answer 1

分析 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，得出粒子运动的半径公式与周期公式，即可求出t=0时粒子射入磁场，求t=t₀时粒子的位置坐标，以及t′．

解答 解：（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，得：$qv{B}_{0}=\frac{m{v}^{2}}{r}$
所以：$r=\frac{mv}{q{B}_{0}}$
则：$T=\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{q{B}_{0}}$
由于：t₀=$\frac{πm}{3q{B}_{0}}$=$\frac{1}{6}$T
所以若t=0时粒子射入磁场，t=t₀时粒子偏转的角度是60°，如图，由几何关系得：

$x=r•sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}r=\frac{\sqrt{3}mv}{q{B}_{0}}$；$y=r（1-cos60°）=0.5r=\frac{mv}{2q{B}_{0}}$
即坐标为：（$\frac{\sqrt{3}mv}{q{B}_{0}}$，$\frac{mv}{2q{B}_{0}}$）
（2）由于粒子在0-t₀时间内向上偏转，t₀-2t₀时间内做匀速直线运动，在2t₀-3t₀时间内向下偏转，在3t₀-4t₀时间内做匀速直线运动…，粒子的运动具有周期性，若粒子不会穿越x轴，则粒子在运动的第一个周期内就不会穿越x轴，所以向上运动的时间要大于等于向下运动的时间，则粒子开始运动的时刻要在$\frac{1}{2}$t₀之前；
若其纵坐标始终不超过某一定值，则粒子在运动的第一个周期内向上运动的时间要小于等于向下运动的时间，则粒子开始运动的时刻要在$\frac{1}{2}$t₀之后；
总上所述，可知，要同时满足粒子不会穿越x轴，且其纵坐标始终不超过某一定值y₀．粒子开始运动的时刻要是$\frac{1}{2}$t₀时刻．
答：（1）若t=0时粒子射入磁场，t=t₀时粒子的位置坐标是（$\frac{\sqrt{3}mv}{q{B}_{0}}$，$\frac{mv}{2q{B}_{0}}$）．
（2）若粒子在某一时刻t′射入磁场，粒子不会穿越x轴，且其纵坐标始终不超过某一定值y₀．t′必须是$\frac{1}{2}$t₀时刻．

点评 本题是带电粒子在复合场中运动的问题，分析粒子的受力情况，确定其运动情况，关键是运用几何知识求解坐标．