Question

11．如图所示是螺旋形翻滚过山轨道，一质量为100kg的小车从高14m处由静止滑下，当它通过半径R为4m的竖直圆轨道最高点A时，对轨道的压力恰等于车重的1.5倍，问小车离地面11m高处滑下，能否安全通过A点？（g取10m/s²）

Answer 1

分析 小车在轨道上运动的过程中，除重力做功外，各种阻力也做功，先根据牛顿第二定律求出小车在通过A点的速度，然后求出要使小球能够通过圆轨道最高点，那么小球在最高点时应该是恰好是物体的重力作为物体的向心力，由向心力的公式可以求得此时的最小的速度，再由机械能守恒可以求得离地面的高度h．

解答 解：设小车经过A点的速率为v_A，此时小车在竖直方向受到重力和轨道压力N的作用，且N=1.5mg，由牛顿第二定律，得
 $N+mg=\frac{m{{v}_{A}}^{2}}{R}$）
设小车从B点运动到A点克服各种阻力所做的功为W，由动能定律得
mg（h-2R）-W=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$ 
解得W=mg（h-2R）-$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
代入数据得：W=1000J    
若保证小车安全通过竖直面圆轨道，小车通过A点的最小速度为，则有
mg=$\frac{mv{′}_{A}^{2}}{R}$，得：$v{′}_{A}=\sqrt{Rg}$
由于小车下滑高度减小，通过轨道上各点时的速度减小，所需向心加速度减小，对轨道的压力减小，轨道对小车的摩擦及空气阻力都减小，因此，克服阻力所做的功减小，即
Wˊ＜W=1000J
设小车开始下滑的高度为hˊ，则
mg（hˊ-2R）-W ˊ=$\frac{1}{2}mv{′}_{A}^{2}-0=\frac{1}{2}mgR$
整理得：hˊ=$\frac{W′}{mg}+\frac{R}{2}+2R$
代入数据得：h′=11m
所以，小车从离地面11m高处下滑能安全通过A点． 
答：小车离地面11m高处滑下，能安全通过A点．

点评 本题属于圆周运动中绳的模型，在最高点时应该是重力恰好做为圆周运动的向心力，对于圆周运动中的两种模型一定要牢牢的掌握住．