Question

7．如图所示，一个半径为r的半圆形线圈，以直径ab为轴匀速运动，转速为n，ab的左侧有垂直于纸面向里（与ab垂直）的匀强磁场，磁感应强度为B．M和N是两个集流环，负载电阻为R，线圈、电流表和连接导线的电阻不计，求：
（1）感应电动势的最大值；
（2）从图示位置起转过$\frac{1}{4}$转的时间内，负载电阻R上产生的热量；
（3）从图示位置起转过$\frac{1}{4}$转的时间内，通过负载电阻R的电荷量；
（4）电流表的示数．

Answer 1

分析 （1）根据感应电动势的最大值公式E_m=NBSω，结合ω=2πn，即S=$\frac{π{r}^{2}}{2}$，即可求解；
（2）由交流电的最大值表达式可求得有效值，再由电功公式可求得热量；
（3）由法拉第电磁感应定律可求得平均值，由q=It可求得电荷量；
（4）电流表的示数为有效值，由有效值定义求出有效值，再由电流．

解答 解：
（1）由最大值表达式可知；E_m=NBSω=B×$\frac{π{r}^{2}}{2}$×2πn=Bπ²r²n；
（2）在线圈从图示位置转过$\frac{1}{4}$转的时间内，电动势的有效值为E=$\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$Bπ²r²n；
Q=（$\frac{E}{R}$）²R•$\frac{T}{4}$=$\frac{{π}^{4}{B}^{2}{r}^{4}n}{8R}$；
（3）在线圈从图示位置转过$\frac{1}{4}$ 的时间内，电动势的平均值$\overline{E}$=$\frac{△∅}{△t}$；
通过R的电荷量q=$\overline{I}$△t=$\frac{πB{r}^{2}}{2R}$；
（4）设此交变电动势在一周期内的有效值为E′，由有效值的定义得：$\frac{（\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}）^{2}}{R}•\frac{T}{2}=\frac{E{′}^{2}}{R}•T$

E′=$\frac{{E}_{m}^{\;}}{2}$；
解得：电流表的示数为：
I=$\frac{E′}{R}$=$\frac{{π}^{2}{r}^{2}nB}{2R}$；
答：（1）Bπ²r²n；
（2）负载电阻R上产生的热量为$\frac{{π}^{4}{B}^{2}{r}^{4}n}{8R}$；
（3）通过负载电阻R的电荷量为$\frac{πB{r}^{2}}{2R}$；
（4）电流表的示数为$\frac{{π}^{2}{r}^{2}nB}{2R}$．

点评 本题考查交流电的有效值及交流电的产生，要注意明确电流表示数及求总功及功率时都要用有效值．