Question

14．已知地球半径为R，万有引力常量为G，地球同步通信卫星的周期为T，它离底面的高度约为地球半径的6倍，求：
（1）地球的平均密度；
（2）若某行星的平均密度是地球的平均密度的$\frac{1}{7}$，其半径是地球半径的9倍，则该行星的第一宇宙速度是多少？

Answer 1

分析 地球同步通信卫星绕地球做圆周运动的向心力由万有引力提供，代入数据化简可得地球的质量，再求出地球的平均密度；
第一宇宙速度是近地绕行星圆周运动的线速度，根据万有引力提供圆周运动向心力求出第一宇宙速度的表达式，据此分析即可．

解答 解：（1）设地球的质量为M，地球同步通信卫星的质量为m，地球同步通信卫星的轨道半径为r，r=7R．
根据万有引力定律和牛顿第二定律有：$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r
解得：M=$\frac{137{{2π}^{2}R}^{3}}{{GT}^{2}}$
地球的平均密度为：ρ=$\frac{M}{\frac{4{πR}^{3}}{3}}$=$\frac{1029π}{{GT}^{2}}$，
（2）令中心天体质量为M，半径为R，第一宇宙速度为v，根据万有引力提供圆周运动向心力有：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{\frac{4πG{ρR}^{2}}{3}}$
某行星的平均密度是地球的平均密度的$\frac{1}{7}$，其半径是地球半径的9倍，则该行星的第一宇宙速度是地球的第一宇宙速度的$\sqrt{\frac{81}{7}}$倍，
所以该行星的第一宇宙速度是：v′=26.86km/s，
答：（1）地球的平均密度是$\frac{1029π}{{GT}^{2}}$；
（2）该行星的第一宇宙速度是26.86km/s．

点评 本题要掌握卫星绕中心天体运动的向心力由万有引力提供$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r，根据题目能够选择恰当的向心力的表达式．
抓住第一宇宙速度的物理意义，并由此推导出第一宇宙速度与中心天体质量和半径的关系是解决问题的关键突破口．