Question

13．如图所示，A、B两小球用轻杆连接，A球只能沿内壁光滑的竖直滑槽运动，B球处于光滑水平面内，开始时杆竖直，A、B两球静止．由于微小扰动，B开始沿水平面向右运动．已知A、B两球的质量均为m，杆长为L，重力加速度大小为g．求：
（1）A球着地时的速度大小；
（2）A球机械能最小时，其加速度的大小；
（3）当轻杆与竖直方向的夹角为θ时，B球的速度大小．

Answer 1

分析 （1）A球着地时，B球的速度为0，系统机械能守恒，根据机械能守恒定律列式即可求解；
（2）当A球机械能最小时，B球的速度最大，此时B球的加速度为0，对B球受力分析即可求解；
（3）设杆与竖直方向间夹角为θ，B球的速度为v_B，此时A球的速度为v_A，根据动能定理列式，而v_A和v_B沿杆方向上分速度大小相等，联立方程求出v_B的表达式．

解答 解：（1）A球落地时，B的速度为零，设此时A的速度为v，整个过程中，系统机械能守恒，
由机械能守恒定律得：mgL=$\frac{1}{2}$mv²                
解得：v=$\sqrt{2gL}$
（2）当A球机械能最小时，B球的速度最大，此时B球的加速度为0，则杆对球的作用力为0．
A球只受重力作用，则加速度a=g             
（3）设轻杆与竖直方向的夹角为θ时A、B的速度分别为v_A和v_B，
则由能量守恒：mgL（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$mv_A²+$\frac{1}{2}$mv_B²
v_A和v_B沿杆方向上的分速度大小相等，即v_Acosθ=v_Bsinθ
联立解得：v_B=$\sqrt{2gL（1-cosθ）co{s}^{2}θ}$
答：（1）A球着地时的速度大小为$\sqrt{2gL}$；
（2）A球机械能最小时，其加速度的大小为g；
（3）当轻杆与竖直方向的夹角为θ时，B球的速度大小为$\sqrt{2gL（1-cosθ）co{s}^{2}θ}$．

点评 本题考查机械能守恒定律，解题的关键是分析清楚物体B的运动情况，然后结合机械能守恒定律和运动关系并结合数学知识分析即可．