Question

9．一人练习高山滑雪，其轨道可简化为图示滑道ABCD，其中坡底C处为一光滑小圆弧，斜滑道BC长s=21.6m、倾斜角θ=37°，已知滑雪板与BC间的动摩擦因数为μ₁=0.125，而在水平滑道上，若滑雪者速度超过v=4m/s，滑雪板与水平滑道间的动摩擦因数为μ₁=0.125，若没超过v=4m/s，滑雪板与水平滑道间的动摩擦因数为μ₂=0.25，现此人以v₀=8m/s的速度由B点水平飞出，落到斜滑道BC上后改以v₁=10m/s的速度沿斜滑道下滑，最后停在D点，不计空气阻力，g=10m/s²，sin37°=0.6，求：
（1）滑雪者从B出发至落到斜滑道BC上所经历的时间；
（2）滑雪者到达C点时的速度大小v_C；
（3）水平滑道CD的长度L．

Answer 1

分析 （1）滑雪者从B出发至落到斜滑道BC上的过程做平抛运动，根据竖直位移与水平位移之比等于tanθ来求运动时间．
（2）根据牛顿第二定律求得滑雪者在BC上滑行时的加速度，结合上题的结果求出滑行的距离，再由速度位移公式求滑雪者到达C点时的速度大小v_C；
（3）滑雪者在水平滑道CD上滑行时，由牛顿第二定律求得加速度，再由速度位移公式求CD的长度L．

解答 解：（1）滑雪者先做平抛运动，设经历时间t落到斜滑道BC上的G点，由平抛运动规律知
  tanθ=$\frac{y}{x}$=$\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}$=$\frac{gt}{2{v}_{0}}$
代入数值得 t=$\frac{2{v}_{0}tanθ}{g}$=$\frac{2×8×tan37°}{10}$s=1.2 s．
（2）设滑雪者（含滑雪板）的总质量为m，在斜滑道上运动的加速度大小为a₁，由牛顿第二定律知
  mgsin37°-μ₁mgcos37°=ma₁
代入数值得 a₁=5 m/s²
由（1）知 BG=$\frac{{v}_{0}t}{cosθ}$=$\frac{8×1.2}{cos37°}$m=12 m
由 ${v}_{C}^{2}$-${v}_{1}^{2}$=2a₁（BC-BG）
代入数值得 v_C=14 m/s．
（3）滑雪者在水平滑道CD上滑行时，在速度大于4 m/s时，由牛顿第二定律知：
加速度大小为 a₂=$\frac{{μ}_{1}mg}{m}$=μ₁g=1.25 m/s²
滑行距离为 x₁=$\frac{{v}_{C}^{2}-{v}^{2}}{2{a}_{2}}$=$\frac{1{4}^{2}-{4}^{2}}{2×1.25}$m=72 m．
在速度小于4 m/s时，由牛顿第二定律知加速度大小为
   a₃=$\frac{{μ}_{2}mg}{m}$=μ₂g=2.5 m/s²
滑行距离为 x₂=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{3}}$=$\frac{{4}^{2}}{2×2.5}$m=3.2 m
所以水平滑道CD的长度 L=x₁+x₂=75.2 m．
答：（1）滑雪者从B出发至落到斜滑道BC上所经历的时间是1.2 s．
（2）滑雪者到达C点时的速度大小v_C是14 m/s．
（3）水平滑道CD的长度L是75.2 m．

点评 本题是多过程问题，关键要分析清楚人的运动情况，搞清运动连接点间物理量的关系，运用运动学公式和牛顿第二定律分段研究．