Question

4．如图所示，粗糙水平面上有一压缩并被锁定的弹簧，弹簧左端固定于竖直墙壁上，右端与一质量m=0.1kg的，可视为质点的小物块A接触但不连接，光滑的固定半圆轨道MP与地面相切于M点，P点为轨道的最高点．现解除弹簧锁定，弹簧将小物块A推出，A沿粗糙水平面运动，之后沿圆轨道运动并恰能通过P点．已知A与地面间的动摩擦因数μ=0.75，物块A与M点的距离L=6m，圆轨道半径R=1m，g取g=10m/s²，空气阻力不计．
（1）求小物块到达P点时的速度大小．
（2）求弹簧弹力对小物块所做的功．
（3）弹簧仍将小物块从A点推出，并调节M点到A点的距离．使小物块恰好能够从P点落回A点，则A点与M点的距离应该调为多大？

Answer 1

分析 （1）小物块沿圆周轨道运动并恰能通过P点，说明在P点小物块受到的重力恰好提供向心力，由牛顿第二定律求解；
（2）整个的过程中重力、摩擦力和弹簧做功，小物块的动能增大．根据动能定理即可求得弹簧做功；
（3）小物块离开P点后做平抛运动，将它的运动安竖直方向和水平方向分解，使用运动学的公式即可求得．

解答 解：（1）设小物块A到达半圆轨道最高点P时的速度为v_P，则由题意有：
  $mg=m\frac{v^2}{{{R^{\;}}}}$   
解得：${v_p}=\sqrt{10}$m/s
（2）从解除锁定到小物块滑至最高点P的过程中，由动能定理得：
  W_弹-$μmgL-2mgR=\frac{1}{2}mv_p^2$   
解得：W_弹=7J 
（3）小球离开P点后以速度v_P′做平抛运动，设落地的时间为t，则
竖直位移：$h=2R=\frac{1}{2}g{t^2}$
水平位移：L′=v_P′t
从解除锁定到小物块滑至最高点P的过程中，由动能定理得：
  W_弹-μmgL′-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{P}^{′2}$
解得：L′=4m
答：
（1）小物块到达P点时的速度大小为$\sqrt{10}$m/s．
（2）弹簧弹力对小物块所做的功是7J．
（3）A点与M点的距离应该调为4m．

点评 该题将动能定理与竖直平面内的圆周运动结合起来，运动情景的设置比较经典，使用的都是常规的一些公式．该类题目要注意对运动过程的分析．