Question

17．真空中存在空间范围足够大且方向水平向右的匀强电场．在电场中，若将一个质量为m且带正电的小球由静止释放，运动中小球的速度与竖直方向夹角为37°（取sin37°=0.6，cos37°=0.8）．现将该小球从电场中某点以初速度v₀竖直向上抛出．求：
（1）运动过程中小球受到的电场力的大小及方向；
（2）运动过程中小球从抛出点至最高点的电势能变化量；
（3）运动过程中小球运动的最小速率．

Answer 1

分析 （1）小球由静止释放，做匀变速直线运动，抓住速度的方向与竖直方向的夹角，结合合力与速度方向在同一条直线上求出电场力的大小和方向．
（2）小球竖直上抛，将小球的运动沿水平方向和竖直方向分解，结合等时性求出水平方向上的位移，从而求出电场力做功的大小，根据电场力做功与电势能的关系求出电势能的变化量．
（3）利用运动的合成求出运动过程中合速度的表达式，然后利用数学求极值的办法即可求出最小速度．

解答 解：（1）电场力的大小为：F=qE=mgtan37°=0.75mg，方向水平向右
（2）小球竖直向上做匀减速运动，加速度为：
a_y=g
水平方向做匀加速运动，加速度
a_x=$\frac{qE}{m}$=0.75g
小球上升到最高点的时间
t=$\frac{{v}_{0}}{g}$
${s}_{x}=\frac{1}{2}{{a}_{x}t}^{2}=\frac{3{{v}_{0}}^{2}}{8g}$
此过程小球沿电场方向的位移为$\frac{3{{v}_{0}}^{2}}{8g}$
电场力做功$W=qE{s}_{x}=\frac{9}{32}m{{v}_{0}}^{2}$
小球从抛出点至最高点的电势能变化量
$△E=-\frac{9}{32}m{{v}_{0}}^{2}$．
（3）水平速度：v_x=a_xt
竖直速度：v_y=v₀-gt
小球的速度：$v=\sqrt{{{v}_{x}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}$
由以上各式得出：$\frac{25}{16}$g²t²-2v₀gt+（v₀²-v²）=0
解得当$t=\frac{16{v}_{0}}{25g}$时，v有最小值 ${v}_{min}=\frac{3}{5}{v}_{0}$．
答：（1）小球所受电场力的大小为0.75mg，方向水平向右；
（2）小球从抛出点至最高点的电势能变化量为$-\frac{9}{32}m{{v}_{0}}^{2}$；
（3）运动过程中小球运动的最小速率为$\frac{3}{5}{v}_{0}$．

点评 本题在复合场中考察了运动的合成、分运动之间的关系等，有一定的综合性．解这类问题的关键是：正确进行受力分析，弄清运动形式，利用相应物理规律求解．