Question

3．如图所示，在竖直方向上A、B两物体通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，A放在水平地面上；B、C两物体通过一不可伸长的细绳绕过轻质定滑轮相连，C放在固定的倾角为30°斜面上，C物体与斜面的滑动摩擦因数为μ=$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．用手拿住物体C，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证ab段的细线竖直、cd段的细线与斜面平行．已知A、B的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态．释放C后它沿斜面下滑，斜面足够长，A刚离开地面时，B获得最大速度，求：
（1）从释放C到物体A刚离开地面时，物体C沿斜面下滑的距离；
（2）C物体的质量是B物体质量的多少倍？
（3）B的最大速度v_Bm．

Answer 1

分析 （1）A刚离开地面时，物体C沿斜面下滑的距离应该等于弹簧原来被压缩的长度再加上后来弹簧被拉长的长度，被压缩和被拉长的长度可以根据胡克定律求得；
（2）B获得最大速度时，B应该处于受力平衡状态，对B受力分析C和B的质量大小关系；
（3）对于整个系统机械能守恒，根据机械能守恒列出方程就可以求得B的最大速度．

解答 解：（1）设开始时弹簧压缩的长度为x_B得：kx_B=mg  
设当物体A刚刚离开地面时，弹簧的伸长量为x_A，得：kx_A=mg    
当物体A刚离开地面时，物体B上升的距离以及物体C沿斜面下滑的距离为：s=x_A+x_B=$\frac{2mg}{k}$
（2）物体A刚刚离开地面时，以B为研究对象，物体B受到重力mg、弹簧的弹力kx_A、细线的拉力T三个力的作用，设C的质量为M，物体B的加速度为a，根据牛顿第二定律，对B有：T-mg-kx_A=ma
对C有：Mgsin30°-F_f-T=Ma
F_f=μF_N
F_N=Mgcos30°
由上述公式整理得得：Mgsinα-2mg-μMgcosα=（M+m）a
当B获得最大速度时，有：a=0
由以式子可解得M=8m
（3）由于x_A=x_B，弹簧处于压缩状态和伸长状态时的弹性势能相等，弹簧弹力做功为零，且物体A刚刚离开地面时，B、C两物体的速度相等，设为v_Bm，
对于B由动能定理得$（T-mg）h=\frac{1}{2}m{v}_{Bm}^{2}$
对于C由动能定理得$（Mgsin30°-{F}_{f}-T）h=\frac{1}{2}M{v}_{Bm}^{2}$
整理得Mgsin30°•h-mgh-μMgcos30°•h=$\frac{1}{2}（M+m）{v}_{Bm}^{2}$
由以上式子，可解得：${v}_{Bm}=\frac{2}{3}g\sqrt{\frac{m}{k}}$．
答：（1）从释放C到物体A刚离开地面时，物体C沿斜面下滑的距离为$\frac{2mg}{k}$；
（2）C物体的质量是B物体质量的8倍；
（3）B的最大速度v_Bm为$\frac{2}{3}g\sqrt{\frac{m}{k}}$．

点评 对于机械能守恒定律，有多个表达式，可以用初态的机械能等于末态的机械能，也可以用动能的增加等于势能的减少，对于第一种表达式要选取零势能面，第二种由于用的它们的差值的大小，所以不用取零势能面，在解题时要注意公式的选择．