Question

如图所示，坐标系xoy位于竖直平面内，所在空间有沿水平方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在x＜0的空间内还有沿x轴负方向的匀强电场，场强大小为E．一个带电油滴经图中x轴上的M点，沿着直线MP做匀速运动，图中α=30°，经过P点后油滴进入x＞0的区域，要使油滴在x＞0的区域内做匀速圆周运动，需要在该区域内加一个匀强电场．若带电油滴沿弧PN做匀速圆周运动，并垂直于x轴通过轴上的N点．已知重力加速度为g．
（1）判断油滴的带电性质；
（2）求油滴运动的速率；
（3）求在x＞0的区域内所加电场的场强；
（4）求油滴从M点出发运动到N点所用的时间．

Answer 1

（1）由题意，带电油滴沿着直线MP做匀速运动，分析受力情况如图1，可知油滴带正电．
（2）油滴受三力作用（见图1）沿直线匀速运动由平衡条件有
  qvBsin30°=qE…①
  mgtan30°=qE…②
由式解得v=

2E

B

…③
（3）在x＞0的区域，油滴要做匀速圆周运动，其所受的电场力必与重力平衡，由于油滴带正电，所以场强方向竖直向上．
设该电场的场强为E′，则有qE′=mg…④
②、④式联立解得E′=

3

E…⑤
（4）见图2，弧PN为油滴做圆周运动在x＞0、y＜0区域内形成的圆弧轨道所对应的弦，PO′是过P点所作的垂直于MP的直线，由于MO=NO，由几何关系容易知道O′点一定是圆心，
且＜PO′N=120°…⑥
设油滴从M点到P点和从P点到N点经历的时间分别为t₁和t₂
做匀速圆周运动时有qvB=

mv2

R

…⑦
②、③、⑦由式解得R=

2 3 E2

gB2

…⑧
t₁=

MP

v

=

Rcot300

v

=

3E

gB

…⑨
t₂=

1200×T

3600

=

2πR

3v

=

2π 3 E

3gB

…⑩
全过程经历的时间为t=t₁+t₂=

3E

gB

+

2π 3 E

3gB

…（11）
答：
（1）油滴带正电；
（2）油滴运动的速率为

2E

B

；
（3）在x＞0的区域内所加电场的场强为

3

E；
（4）油滴从M点出发运动到N点所用的时间为

3E

gB

+

2π 3 E

3gB

．