Question

如图所示，斜面轨道AB与水平面之间的夹角θ=53°，BCD为半径R=5m的圆弧形轨道，在B点，轨道AB与圆弧形轨道BCD相切，整个光滑轨道处于竖直平面内，在A点，一质量为m=1kg，带电量为q=+1×10^-3C的小球由静止滑下，经过B、C点后从D点竖直向上抛出．设以竖直线MDN为分界线，其左边有水平向左的匀强电场区域，右边为真空区域．小球最后落到与D在同一水平面相距为10.8m的S点处，此时速度大小v_S=16m/s，已知A点距地面的高度H=10m，B点距地面的高度h=5m．（g取10m/s²，cos 53°=0.6），求：
（1）小球经过B点时的速度大小；
（2）小球经过圆弧轨道最低处C点时对轨道的压力；
（3）小球从D点抛出后，速度最小时距SD面的高度．

Answer 1

分析：（1）小球从A到B的过程中只有重力做功，根据机械能守恒求解小球经过B点的速度．
（2）根据机械能定律求出小球经过C点时的速度．由牛顿第二定律求出轨道对小球的支持力，即可求得小球对轨道的压力．
（3）小球从C点至D点过程中，根据动能定理求小球到达D的速度大小．从A到S的过程，由动能定理求出电场力的大小．小球在电场中受到电场力和重力作用，运用运动的分解法，求解速度最小时距SD面的高度．

解答：解：（1）对小球，从A到B过程，由动能定理得：mg(H-h)=

1

2

mv2-0 ①
解之得：小球经过B点时的速度大小v=

2g(H-h)

=10m/s
（2）对小球，从B到C过程，由动能定理得：mgR(1-cosθ)=

1

2

mvc2-

1

2

mv2  ②
在C点，由牛顿第二定律得：N-mg=m

vc2

R

联立解之得：N=38N
由牛顿第三定律得：小球对轨道的压力为N'=N=38N
（3）对小球，从C到D过程，由动能定理得：-mgR=

1

2

mvD2-

1

2

mvc2   ④
解之得：v_D=2

10

m/s
从A到S的过程，由动能定理得：mg(H-h-3)+F电xSD=

1

2

mvS2-0  ⑤
解之得：F_电=10N
小球在复合场中受到的合力方向斜向左下45°，大小为

2

mg，把D点的速度分解为垂直于合力和平行于合力方向的分速度，当平行于合力方向的分速度为零时，速度最小vDcos45．=at   ⑥
a=

2

g  ⑦
竖直方向：x=v_Dt-

1

2

gt2  ⑧
解之得：x=1.5m
答：（1）小球经过B点时的速度大小是2m/s；
（2）小球经过圆弧轨道最低处C点时对轨道的压力是38N；
（3）小球从D点抛出后，速度最小时距SD面的高度是1.5m．

点评：本题是机械能守恒定律、牛顿第二定律、运动学公式和动能定理的综合应用．难点是研究小球在电场中的运动情况，运动分解法求解速度最小时距SD面的高度，可与平抛运动进行类比，容易理解．