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    4．一根足够长的空心铜管竖直放置，使一枚直径略小于铜管内径、质量为m0的圆柱形强磁铁从管内某处由静止开始下落，如图1所示，它不会做自由落体运动，而是非常缓慢地穿过铜管，在铜管内下落时的最大速度为v0．强磁铁在管内运动时，不与铜管内壁发生摩擦，空气阻力也可以忽略．产生该现象的原因是变化的磁场在铜管内激发出了涡流，涡流反过来又对强磁铁产生了很大的阻力．虽然该情景中涡流的定量计算非常复杂，我们不需要求解，却仍然可以用我们学过的知识来对下述问题进行分析．
    （1）求图1中的强磁铁达到最大速度后铜管的热功率P0；
    （2）强磁铁下落过程中，可以认为铜管中的感应电动势大小与强磁铁下落的速度成正比，且强磁铁周围铜管的有效电阻是恒定的．由此分析，如果在图甲中强磁铁的上面粘一个质量为m1的绝缘橡胶块，则强磁铁下落的最大速度v1是多大？
    （3）若已知强磁铁下落过程中的任一时刻，强磁铁机械能耗散的功率等于其受到的阻力大小与下落速度大小的乘积．则在图1中，质量为m0的强磁铁从静止下落，经过时间t后达到最大速度v0，求此过程强磁铁的下落高度h；
    （4）若将空心铜管切开一条竖直狭缝，如图2所示，强磁铁还从管内某处由静止开始下落，发现强磁铁的下落还是会明显慢于自由落体运动，请你分析这一现象的原因．

    分析 （1）强磁铁达到最大速度强磁铁减小的重力势能转化为铜管的热功率，由此即可求出；
    （2）由题，铜管中的感应电动势大小与强磁铁下落的速度成正比结合电热的公式：P=$\frac{{E}^{2}}{R}$电场热功率与速度的关系，然后结合（1）得出的速度与热功率的表达式即可求出强磁铁下落的最大速度v1；
    （3）根据强磁铁机械能耗散的功率等于其受到的阻力大小与下落速度大小的乘积．由动量定理得出最大速度v0的表达式，然后结合动能定理即可求出此过程强磁铁的下落高度h；
    （4）结合涡流分析这一现象的原因．

    解答 解：（1）磁铁匀速下落过程中，可以认为减少的重力势能全部转化为热，则：
    P0 t=m0 gv0 t        
    代入数据可得：P0=m0gv0
    （2）由于强磁铁下落过程中铜管中的感应电动势大小 E 与磁铁下落的速度 v 成正比，且其周围 铜管的有效电阻 R 是恒定的，可知任一时刻的热功率：
    $P=\frac{E^2}{R}$…①
       则：P∝v2
    由（1）可得，强磁铁下落过程中P=mgv…②
    可得：$\frac{P_0}{P_1}=\frac{{{m_0}g{v_0}}}{{（{m_0}+{m_1}）g{v_1}}}=\frac{v_0^2}{v_1^2}$…③
    所以有：${v_1}=\frac{{{m_0}+{m_1}}}{m_0}{v_0}$
    （3）设强磁铁下落过程中的很短时间△t 内所受电磁阻力大小为 f，根据动量定理有：
    m0g△t-f△t=m0△v…④
    又有：$P=fv=\frac{E^2}{R}$…⑤
    所以有：f∝v
    设f=kv，其中 k 为常量⑥强磁铁匀速下落时：m0g=kv0…⑦
    由④⑥⑦式，有${m_0}g△t-\frac{{{m_0}g}}{v_0}v•△t={m_0}△v$…⑧
    对于全过程有：${m_0}gt-\frac{{{m_0}g}}{v_0}h={m_0}{v_0}$…⑨
    得：$h={v_0}t-\frac{v_0^2}{g}$
    （4）因为此时铜管中仍然会产生涡流，涡流的磁场对强磁铁有阻力作用． 
    答：（1）图1中的强磁铁达到最大速度后铜管的热功率是m0gv0；
    （2）强磁铁下落的最大速度v1是$\frac{{m}_{0}+{m}_{1}}{{m}_{0}}{v}_{0}$；
    （3）此过程强磁铁的下落高度h是${v}_{0}t-\frac{{v}_{0}^{2}}{g}$；
    （4）因为此时铜管中仍然会产生涡流，涡流的磁场对强磁铁有阻力作用．

    点评 该题属于信息给予的题目，在解答的过程中要注意理解题目中给出的电动势与下落的速度成正比等条件，正确进行列式．

    练习册系列答案
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