Question

19．如图所示，光滑固定轨道的左端是半径为R的四分之一圆弧，右端是半径为2R的四分之一圆弧，在轨道水平面上有两个质量均为m的小球B、C，且B、C间用一长度不变并锁定的轻弹簧拴接，弹性势能E_p=$\frac{2}{3}$mgR．一质量也为m的小球A从左侧的最高点自由滑下，A滑到水平面与B碰撞后立即粘在一起结合成D不再分离（碰撞时间极短）．当D、C 一起刚要滑到右侧最低点时，弹簧锁定解除，且立即将C弹出并与弹簧分离，求：
（1）弹簧锁定解除前瞬间D、C一起运动的速度大小；
（2）弹簧锁定解除后，C第一次滑上右侧轨道的最高点时，小球对轨道的压力大小；
（3）弹簧锁定解除后，若C、D（含弹簧）每次碰撞均在水平面上，求第N次碰撞结束时（C与弹簧分离）C、D的速度．

Answer 1

分析 （1）、运用机械能守恒定律求解A球碰撞前的速度，碰撞过程系统动量守恒，应用动量守恒定律可以求出D、C的速度．
（2）弹簧锁定解除过程系统动量守恒、机械能守恒，应用动量守恒定律和机械能守恒定律可以求出C、D的速度，分离后C运动过程机械能守恒，应用机械能守恒定律与平衡条件求出压力．
（3）对C、D（含弹簧）系统，应用动量守恒定律和机械能守恒定律分析答题．

解答 解：（1）A下滑过程机械能守恒，由机械能守恒定律得：
mgR=$\frac{1}{2}$mv²，
解得：v=$\sqrt{2gR}$，
A、B碰撞过程系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得：
mv=3mv₁，
解得：v₁=$\frac{\sqrt{2gR}}{3}$；
（2）弹簧锁定解除过程系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得：
3mv₁=mv_C+2mv_D，
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$•3mv₁²+E_P=$\frac{1}{2}$mv_C²+$\frac{1}{2}$•2mv_D²，
解得：v_C=$\sqrt{2gR}$，v_D=0，（v_C=-$\frac{1}{3}$$\sqrt{2gR}$，v_D=-$\frac{2}{3}$$\sqrt{2gR}$不合题意，舍去），
C第一次滑上轨道右侧圆弧部分，由机械能守恒定律得：
mg•2R（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$mv_C²，
解得：θ=60°，
小球对轨道的压力：F=mgcosθ=$\frac{1}{2}$mg；
（3）系统机械能：$\frac{1}{2}$mv_C²=mgR，
以左为正方向，C、D（含弹簧）碰撞过程系统动量守恒，第一次碰撞过程，由动量守恒定律得：
mv_C=mv_C1+2mv_D1，
由机械能守恒定律得：mgR=$\frac{1}{2}$mv_C1²+$\frac{1}{2}$•2mv_D1²，
解得：v_C1=-$\frac{1}{3}$$\sqrt{2gR}$，v_D1=$\frac{2}{3}$$\sqrt{2gR}$，（v_C1=$\sqrt{2gR}$，v_D1=0 不合题意，舍去），
同理，第二次碰撞过程，以向右为正方向：由动量守恒定律得：
-2mv_D1+mv_C1=mv_C2+2mv_D2，
由机械能守恒定律得：mgR=$\frac{1}{2}$mv_C2²+$\frac{1}{2}$•2mv_D2²，
解得：v_C2=-$\sqrt{2gR}$，v_D2=0，（v_C2=$\frac{1}{3}$$\sqrt{2gR}$，v_D2=-$\frac{2}{3}$$\sqrt{2gR}$ 不合题意，舍去），
综上所述：当N为奇数：v_C=$\frac{1}{3}$$\sqrt{2gR}$，方向：水平向右，v_D1=$\frac{2}{3}$$\sqrt{2gR}$，方向：水平向左，
当N为偶数时：v_C=$\sqrt{2gR}$，方向：水平向右，v_D2=0；
答：（1）弹簧锁定解除前瞬间D、C一起运动的速度大小为$\frac{\sqrt{2gR}}{3}$；
（2）弹簧锁定解除后，C第一次滑上右侧轨道的最高点时，小球对轨道的压力大小为$\frac{1}{2}$mg；
（3）弹簧锁定解除后，第N次碰撞结束时（C与弹簧分离）C、D的速度，当N为奇数：v_C=$\frac{1}{3}$$\sqrt{2gR}$，方向：水平向右，v_D1=$\frac{2}{3}$$\sqrt{2gR}$，方向：水平向左，
当N为偶数时：v_C=$\sqrt{2gR}$，方向：水平向右，v_D2=0．

点评 本题是一道力学综合题，物体运动过程复杂，难度较大，分析清楚A、B、C的运动过程，选择不同的过程应用动量守恒定律和机械能守恒定律，即可正确解题．