Question

如图甲所示，空间存在B=0.5T、方向竖直向下的匀强磁场，MN、PQ是相互平行的粗糙的长直导轨，它们处于同一水平面内，其间距L=0.2m，R是连在导轨一端的电阻，ab是跨接在导轨上质量m=0.1kg的导体棒，从零时刻开始，通过一小型电动机对ab棒施加一个牵引力F，方向水平向左，使其从静止开始沿导轨做直线运动，此过程中棒始终保持与导轨垂直且接触良好，图乙是棒的速度一时间图象，其中OA段是直线，AC段是曲线，DE是曲线图象的渐近线，小型电动机在12s末达到额定功率P=4.5W，此后功率保持不变．导体棒和导轨的电阻均不计，g取10m/s²．
（1）求导体棒在0～12s内的加速度大小；
（2）求导体棒与导轨间的动摩擦因数μ及电阻R的阻值；
（3）若t=17s时，导体棒ab达最大速度，且0～17s内共发生位移100m，试求12～17s内R上产生的热量Q以及通过R的电荷量q．

Answer 1

分析：（1）由乙图知：导体棒在0-12s内做匀加速运动，由图象的斜率求解加速度．
（2）乙图中A点：由E=BLv、I=

E

R

、F=BIL推导出安培力的表达式，由牛顿第二定律得到含μ和R的表达式；图中C点：导体棒做匀速运动，由平衡条件再得到含μ和R的表达式，联立求出μ和R．
（3）由图象的“面积”求出0-12s内导体棒发生的位移，0-17s内共发生位移100m，求出AC段过程发生的位移，由能量守恒定律求解12-17s内R上产生的热量．

解答：解：（1）由图中可得：12s末的速度为v₁=9m/s，t₁=12s
导体棒在0.12s内的加速度大小为a=

v1-0

t1

=

9-0

12

=0.75m/s²．
（2）设金属棒与导轨间的动摩擦因数为μ．
当金属棒的速度为v时，安培力大小为F，则有
  F=BIL，I=

BLv

R

得 F=

B2L2v

R

A点：由牛顿第二定律得
F₁-μmg-

B2L2v1

R

=ma₁
  又P_额=F₁v₁．
C点：棒达到最大速度，F₂-μmg-

B2L2vm

R

=0
  P_额=F₂v_m．
联立解得，μ=0.2，R=0.4Ω
（2）0-12s内导体棒发生的位移为s₁=

1

2

×9×12m=54m，
AC段过程棒发生的位移为s₂=100-s₁=46m
由能量守恒得
 P_额t=Q_R+μmgs₂+（

1

2

m

v

2 m

-

1

2

m

v

2 1

）
代入解得Q_R=12.35J
答：
（1）求导体棒在0-12s内的加速度大小是0.75m/s²；
（2）导体棒与导轨间的动摩擦因数是0.2，电阻R的阻值是0.4Ω；
（3）12-17s内，R上产生的热量是12.35J．

点评：本题与汽车匀加速起动类似，关键会推导安培力的表达式F=

B2L2v

R

，根据平衡条件、牛顿第二定律和能量守恒结合进行求解．