Question

5．如图所示，质量为M的小车放在光滑的水平面上，在小车的最左端有一小物块，质量m的物块与小车间动摩擦因数为μ，竖直固定的挡板A下端离地面的高度略大于小车的高度．初始时，小车与物块一起以水平速度v₀向左运动，当物块运动到挡板A处与挡板碰撞后以等大速度反弹，若小车足够长．求：
（1）如果M＞m，物块第一次与挡板A碰撞后，物块向右运动最大对地位移；
（2）如果M=km，讨论物块与挡板A碰撞后，取不同k值范围，物块在车上相对滑动的位移和相对滑动的时间各为多大．（表达式中不能含有M和m）

Answer 1

分析 （1）如果M＞m，物块与挡板碰后向右减速到零，向右运动对地位移最大，根据动能定理求出物块向右运动的最大对地位移．
（2）分二种情况：当k≥1，物块每次与挡板碰后左共速，经多次碰后最后静止（K=1碰一次同时静止）．设物块与车相对滑动的总位移为L₁，对全过程由系统能量守恒和运动学基本公式求解，当k＜1，物块与挡板只碰一次右共速，设物块与车相对滑动的总位移为L₂，由系统动量和能量守恒及运动学基本公式求解．

解答 解：（1）如果M＞m，物块与挡板碰后向右减速到零，向右运动对地位移最大，
由动能定理有：$μmgs=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
解得：s=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2μg}$
（2）分二种情况：
第一、当k≥1，物块每次与挡板碰后左共速，经多次碰后最后静止（K=1碰一次同时静止）．
设物块与车相对滑动的总位移为L₁，对全过程由系统能量守恒得：
 $\frac{1}{2}（M+m）{{v}_{0}}^{2}=μmg{L}_{1}$
解得：${L}_{1}=\frac{1+k}{2μg}{{v}_{0}}^{2}$
物块在车上多次相对往返滑动过程中，车一直在左匀减速直到最后静止，设物块在车上相对滑动的全程时间为t₁，
对车研究：μmg=Ma₁，0=v₀-a₁t₁
由上两式解得：${t}_{1}=\frac{k{v}_{0}}{μg}$
第二，当k＜1，物块与挡板只碰一次右共速，设物块与车相对滑动的总位移为L₂，由系统动量和能量守恒得：
mv₀-Mv₀=（m+M）v，$\frac{1}{2}（m+M）{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}（m+M）{v}^{2}+μmg{L}_{2}$
解得：${L}_{2}=\frac{2k}{μg（1+k）}{{v}_{0}}^{2}$
碰一次物块一直右匀减速到与车共速，设物块在车上相对滑动的全程时间为t₂，
对物块：μmg=ma₂，v=v₀-a₂t₂
解得：${t}_{2}=\frac{2k}{μg（1+k）}{{v}_{0}}^{\;}$
答：（1）如果M＞m，物块第一次与挡板A碰撞后，物块向右运动最大对地位移为$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2μg}$；
（2）当k≥1，物块在车上相对滑动的位移为$\frac{1+k}{2μg}{{v}_{0}}^{2}$，相对滑动的时间为$\frac{k{v}_{0}}{μg}$，当k＜1，物块在车上相对滑动的位移为$\frac{2k}{μg（1+k）}{{v}_{0}}^{2}$，相对滑动的时间为$\frac{2k}{μg（1+k）}{{v}_{0}}^{\;}$，

点评 本题综合考查了动量守恒定律、动能定理、牛顿第二定律和能量守恒定律，综合性较强，对学生的能力要求较高，需加强该题型的训练．