Question

4．如图所示，宇航员在地球表面完成以下实验：在固定的竖直光滑圆弧轨道内部的最低点，给质量为m的小球水平初速度v，小球恰能在竖直平面内做完整的圆周运动，而宇航员在某星球表面重复上述实验时发现小球只能上升至圆心等高处．已知该星球半径为地球半径的2倍，小球可视为质点，可求得该星球和地球的密度之比为（　　）

• A． 5：4
• B． 4：5
• C． 5：1
• D． 1：5

Answer 1

分析 在地球表面，根据牛顿第二定律求出最高点的速度，结合动能定理求出求出地球表面的重力加速度，根据动能定理求出星球表面的重力加速度，从而得出重力加速度的比值．根据万有引力等于重力得出星球质量的表达式，结合密度公式求出星球密度的表达式，抓住重力加速度和星球半径之比求出密度之比．

解答 解：在地球表面，小球恰能在竖直平面内做完整的圆周运动，在最高点有：$m{g}_{1}=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{r}$，解得${v}_{1}=\sqrt{{g}_{1}r}$．
根据动能定理得，$m{g}_{1}•2r=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，解得g₁=$\frac{{v}^{2}}{5r}$．
在星球的表面，小球只能上升至圆心等高处，根据动能定理得，$m{g}_{2}r=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，解得${g}_{2}=\frac{{v}^{2}}{2r}$，
则$\frac{{g}_{1}}{{g}_{2}}=\frac{2}{5}$，
根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得，质量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，则密度$ρ=\frac{M}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}$=$\frac{3g}{4πGR}$，
因为星球表面的重力加速度与地球表面重力加速度的比值为5：2，半径之比为2：1，则密度之比为5：4．
故选：A．

点评 本题考查了动能定理、牛顿第二定律和万有引力定律的综合运用，通过牛顿第二定律和动能定理求出星球和地球表面的重力加速度之比是解决本题的关键．