Question

6．如图所示为某种新型分离设备内部电、磁场分布情况图．自上而下分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域．区域Ⅰ宽度为d₁，分布有沿纸面向下的匀强电场E₁；区域Ⅱ宽度为d₂，分布有垂直纸面向里的匀强磁场B₁；宽度可调的区域Ⅲ中分布有沿纸面向下的匀强电场E₂和垂直纸面向里的匀强磁场B₂．现有一群质量和带电量均不同的带电粒子从区域Ⅰ上边缘的注入孔A点被注入，这些粒子都只在电场力作用下由静止开始运动，然后相继进入Ⅱ、Ⅲ两个区域，满足一定条件的粒子将回到区域Ⅰ，其他粒子则从区域Ⅲ飞出，三区域都足够长．已知能飞回区域Ⅰ的带电粒子的质量为m=6.4×10^-27kg、带电量为q=3.2×10^-19C，且有d₁=10cm，d₂=5$\sqrt{2}$cm，E₁=E₂=40V/m，B₁=4×10^-3T，B₂=2$\sqrt{2}$×10^-3T．试求：
（1）该带电粒子离开区域Ⅰ时的速度；
（2）该带电粒子离开区域Ⅱ时的速度；
（3）为使该带电粒子还能回到区域Ⅰ的上边缘，区域Ⅲ的宽度d₃应满足的条件；
（4）该带电粒子第一次回到区域Ⅰ的上边缘时离开A点的距离．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场E₁中做匀加速直线运动，根据动能定理粒子刚进入磁场B₁时的速度大小．
（2）粒子进入磁场B₁中，由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律求出粒子轨迹半径，由几何知识得出粒子离开区域Ⅱ时的速度方向．
（3）（4）粒子进入Ⅲ区域时，受到电场力和洛伦兹力，采用运动的分解法，将粒子的速度分解为水平和竖直两个方向，分别求出这两个方向速度对应的洛伦兹力，分析粒子水平方向的运动情况：匀速直线运动．分析与竖直速度对应的洛伦兹力，分析得知粒子做匀速圆周运动，根据匀速直线运动和匀速圆周运动的合成，由几何知识求出区域Ⅲ的宽度d₃应满足的条件和能飞回区域Ⅰ的粒子第一次回到区域Ⅰ上边缘时离A的距离．

解答 解：为研究方便，建立如图所示坐标系
（1）由E₁qd₁=$\frac{1}{2}m{v^2}$得，带电粒子离开区域Ⅰ时的速度：
$v=\sqrt{\frac{{2{E_1}q{d_1}}}{m}}=2×1{0^4}m/s$，方向沿y轴正向．
（2）带电粒子在区域Ⅱ内运动时，只受洛仑兹力，且不做功，所以带电粒子离开区域Ⅱ时的速度大小仍为：
v=2×10⁴m/s
方向：由图中几何关系可知：$sinθ=\frac{{d}_{2}}{{R}_{1}}$，
又由${B_1}qv=m\frac{{v_{\;}^2}}{R_1}$得：${R_1}=\frac{mv}{{B{\;}_1q}}$
联立代入数据得：R₁=10cm，$sinθ=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即θ=45°
所以带电粒子离开区域Ⅱ时的速度方向与x轴正向夹45°．
（3）如果将带电粒子离开区域Ⅱ也即进入区域Ⅲ时的速度分解成v_x和v_y，则有：
v_x=v_y=vsin45°=$\sqrt{2}×{10^4}m/s$，
所以${B_2}q{v_x}={B_2}q{v_y}=1.28×{10^{-17}}N$，B₂qv_x方向沿y轴反向，B₂qv_y方向沿x轴正向，
又因为${E_2}q=1.28×{10^{-17}}N$，方向沿y轴正向，即E₂q与B₂qv_x抵消．
所以带电粒子在区域Ⅲ中运动可视为沿x轴正向的速度为v_x的匀速直线运动和以速率为v_y以及对应洛沦兹力B₂qv_y作为向心力的匀速圆周运动的叠加，轨迹如图所示．
圆周运动半径为${R_2}=\frac{{m{v_y}}}{{{B_2}q}}$=10cm，周期T=$\frac{2πm}{{{B_2}q}}$=$\sqrt{2}π×{10^{-5}}s$
所以只要带电粒子运动到轨迹最低点C时不出区域Ⅲ，就可回到区域Ⅰ的上边缘．
所以区域Ⅲ的宽度应满足d₃＞h
由上面的运动分析可知，带电粒子到最低点，圆周运动刚好转过$\frac{T}{4}$，
得：h=${R_2}=\frac{{m{v_y}}}{{{B_2}q}}$=0.1m=10cm
所以d₃＞10cm
（4）根据运动的对称性可知，带电粒子回到区域Ⅰ的上边缘的B点，距A点的距离为：
d=2[（1-cosθ）R₁+R₂+v_y•$\frac{T}{4}$]
代入数据得：d=40+10π-10$\sqrt{2}$=57.26cm
答：（1）该带电粒子离开区域Ⅰ时的速度为2×10⁴m/s，方向沿y轴正向．；
（2）该带电粒子离开区域Ⅱ时的速度大小为2×10⁴m/s，方向与x轴正向夹45°向右下方；
（3）为使该带电粒子还能回到区域Ⅰ的上边缘，区域Ⅲ的宽度d₃应满足的条件为d₃＞10cm；
（4）该带电粒子第一次回到区域Ⅰ的上边缘时离开A点的距离为57.26cm．

点评 本题粒子在电场E₁中加速，根据动能定理求速度，在磁场B₁中偏转，根据牛顿第二定律求半径，画轨迹，都是常用思路，难点是研究电场E₂和磁场B₂叠加区域，采用运动的分解法研究粒子的运动，不容易想到，有较大的难度．