Question

2．如图所示，竖直平面MN、CD与纸面垂直，MN右侧、CD左侧的空间存在着垂直纸面向内的匀强磁场和水平向左的匀强电场，CD的右侧只有垂直纸面向内的匀强磁场．MN左侧的水平面光滑，右侧NC段的水平面粗糙，CD的右侧为一半径为r的光滑半圆轨道与水平面相切于C点．质量为m 的物体A静止在MN左侧的水平面上，已知该物体带负电，电荷量的大小为q．一质量为$\frac{1}{3}$m的不带电的物体B以速度v₀冲向物体A并发生弹性碰撞，碰撞前后物体A的电荷量保持不变．求：
（1）碰撞后物体的速度大小v_A；
（2）若A与水平面的动摩擦因数为μ，重力加速度的大小为g，磁感应强度的大小为B=$\frac{3mg}{{qv}_{0}}$，电场强度的大小为E=$\frac{4μmg}{q}$．已知物体A从MN开始向右移动的距离为L时，（L小于NC之间的距离），速度增大到最大值．求：
a、此过程中物体A克服摩擦力所做的功W；
b、此过程所经历的时间t．
c、若r=$\frac{{5v}_{0}^{2}}{36g}$，物体能否到达D点？若能，当物体A运动到D点时对轨道的压力为多大？若不能，物体A从何处离开轨道？

Answer 1

分析 （1）物体A、B是弹性碰撞，系统动量守恒、机械能也守恒，根据动量守恒定律和机械能守恒定律列式后联立求解得到碰撞后物体A的速度大小v_A；
（2）滑块A进入电磁场区域后，受向右的电场力、向下的洛仑兹力、重力、支持力和向左的滑动摩擦力，是变加速运动，当摩擦力与电场力平衡时速度最大；根据平衡条件列式求解最大速度，根据动能定理列式求解此过程中物体A克服摩擦力所做的功W；根据动量定理列式求解此过程所经历的时间t；
（3）求出经过最高点的临界速度，再根据机械能守恒定律求解最高点速度，比较可知是否能经过最高点，再求压力．

解答 解：（1）设A、B碰撞后的速度分别为v_A、v_B，由于A、B发生弹性碰撞，动量、动能均守恒，则有：
$\frac{1}{3}m{v}_{0}=\frac{1}{3}m{v}_{B}+m{v}_{A}$             ①
$\frac{1}{2}•\frac{1}{3}{m}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}•\frac{1}{3}m{v}_{B}^{2}+$$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$     ②
联立①②可得：${v}_{A}=\frac{1}{2}{v}_{0}$ ③
（2）a、A的速度达到最大值v_m时合力为零，受力如图所示：

竖直方向合力为零，有：N=qv_mB+mg     ④
水平方向合力为零，有：qE=μN              ⑤
根据动能定理，有：$qEl-W=\$$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}-$$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$     ⑥
联立③④⑤⑥并代入相相关数据可得：W=4μmgl-$\frac{3}{8}m{v}_{0}^{2}$
b、在此过程中，设A物体运动的平均速度为$\overline{v}$，根据动量定理有：
qEt-μ$\overline{N}$t=mv_m-mv_A             ⑦
$\overline{N}$=mg+q$\overline{v}$B                          ⑧
依题意有：$\overline{v}$t=l                    ⑨
联立③④⑤⑦⑧⑨并代入相关数据可得：t=$\frac{l}{{v}_{0}}+\frac{{v}_{0}}{6μg}$
c、到达C点时，根据④⑤可知：v_m=v₀
若可以到达最高点，速度为v_D，根据机械能守恒定律有：$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=mg•2r+\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
且r=$\frac{{5v}_{0}^{2}}{36g}$
解得：v_D=$\frac{2}{3}{v}_{0}$
设刚好通过最高点的临界速度为${v}_{D}^{'}$，在D点有：$mg-q{v}_{D}^{'}B=m\frac{{{v}_{D}^{'}}^{2}}{r}$
解得：${v}_{D}^{'}$=0.21v₀
${v}_{D}^{'}$＜v_D，故可以通过D点，
根据牛顿第二定律有：$mg+{N}_{D}-q{v}_{D}B=m\frac{{v}_{D}^{2}}{r}$
解得：N_D=4.2mg
根据牛顿第三定律可知对轨道的压力为4.2mg．
答：（1）碰撞后物体A的速度大小v_A为$\frac{1}{2}$v₀；
（2）a、此过程中物体A克服摩擦力所做的功W为4μmgl-$\frac{3}{8}m{v}_{0}^{2}$；
b、此过程所经历的时间t为$\frac{l}{{v}_{0}}+\frac{{v}_{0}}{6μg}$；
c、物体能到达D点，当物体A运动到D点时对轨道的压力为4.2mg．

点评 本题关键是明确两个物体碰撞过程中系统动量守恒、机械能也守恒；滑块A向右运动过程中是变加速运动，当摩擦力增加到等于电场力时，速度达到最大值，结合动能定理和动量定理列式分析．