Question

4．某质量分布均匀的星球表面重力加速度为g′，已知该星球半径为R，万有引力常量为G，求：
（1）该星球的质量M；
（2）该星球的密度；
（3）该星球的第一宇宙速度；
（4）人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的最小周期．

Answer 1

分析 （1）星球表面重力与万有引力相等，据引力常量、重力加速度和星球半径求星球的质量；
（2）根据密度公式计算星球的密度；
（3）第一宇宙速度即为绕该星球表面飞行的卫星速度，根据万有引力提供圆周运动向心力计算第一宇宙速度；
（4）根据万有引力提供圆周运动向心力，由周期表达式根据半径大小判定卫星的最小周期．

解答 解：（1）在星球表面重力与万有引力相等有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg′$
可知星球的质量M=$\frac{g′{R}^{2}}{G}$
（2）根据密度公式可知，该星球的密度：
ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{3g′}{4πGR}$
（3）该星球的第一宇宙速度为绕星球表面飞行的卫星的速度，根据万有引力提供圆周运动向心力有
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$
可得v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{g′R}$
（4）绕星球表面运行的卫星具有最小的周期，即T=$\frac{2πR}{v}$=$2π\sqrt{\frac{R}{g′}}$
答：（1）该星球的质量M为$\frac{g′{R}^{2}}{G}$；
（2）该星球的密度为$\frac{3g′}{4πGR}$；
（3）该星球的第一宇宙速度为$\sqrt{g′R}$；
（4）人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的最小周期为$2π\sqrt{\frac{R}{g′}}$．

点评 重力加速度g是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量．本题要求学生掌握两种等式：一是物体所受重力等于其吸引力；二是物体做匀速圆周运动其向心力由引力提供．