Question

4．我国探月的“嫦娥”工程已启动，在不久的将来，我国宇航员将登上月球．假设探月宇航员站在月球表面一斜坡上的M点，并沿水平方向以初速度v₀抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点N，斜面的倾角为θ，如图所示．将月球视为密度均匀、半径为r的球体，引力恒量为G，求：
（1）月球表面的重力加速度？
（2）月球的平均密度多少？

Answer 1

分析 （1）月球表面的重力加速度g就是小球平抛运动的加速度，可根据平抛运动的规律求出．
（2）由重力等于万有引力，求出月球的质量，再求密度．

解答 解：（1）根据平抛运动规律有
  $\overline{MN}$sinθ=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
   $\overline{MN}$cosθ=v₀t
得月球表面的重力加速度 g=$\frac{2{v}_{0}tanθ}{t}$
（2）月球对表面物体的万有引力等于物体的重力，有 $\frac{GMm}{{r}^{2}}$=mg，
月球的密度ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{r}^{3}}$
解以上三式得月球的平均密度 ρ=$\frac{3{v}_{0}tanθ}{2πGrt}$．
答：
（1）月球表面的重力加速度是$\frac{2{v}_{0}tanθ}{t}$．
（2）月球的平均密度是 $\frac{3{v}_{0}tanθ}{2πGrt}$．

点评 本题是平抛运动的规律与万有引力的综合，要知道它们之间联系桥梁是重力加速度．