Question

4．如图所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A点，弹簧处于自然状态时其右端位于B点．水平桌面右侧有一竖直放置的光滑圆弧形轨道MNP，其半径R=0.8m，OM为水平半径，ON为竖直半径，P点到桌面的竖直距离也是R，∠PON=45°，质量为m=0.1kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点释放，物块过B点后做匀减速直线运动，其位移与时间的关系为x=6t-2t²（m），物块从桌面右边缘D点飞离桌面后，由P点沿圆轨道切线落入圆轨道．（g=10m/s²，不计空气阻力）求：
（1）P点与桌面的水平距离．
（1）物块m由B运动到P所用时间．
（2）物块m运动到M点时，m对轨道的压力F_N．

Answer 1

分析 （1）由平抛运动规律求得竖直分速度，进而得到运动时间；然后根据速度方向求得水平速度，进而求得水平距离；
（2）根据位移与时间的关系式求得初速度和加速度，进而求得在BD上的运动时间，即可求得B到P的时间；
（3）对物块从P到M应用机械能守恒求得在M点的速度，然后由牛顿第二定律求得支持力，即可由牛顿第三定律求得压力．

解答 解：（1）物块从D到P做平抛运动，运动时间${t}_{1}=\sqrt{\frac{2R}{g}}=0.4s$，物块在P点的竖直分速度v_y=gt₁=4m/s，故物块在D点的速度v_D=v_ytan45°=4m/s；
那么，P点与桌面的水平距离s=v_Dt₁=1.6m；
（2）物块过B点后做匀减速直线运动，其位移与时间的关系为x=6t-2t²（m），故物块在B点的速度v_B=6m/s，物块做匀减速运动的加速度a=4m/s²；
所以，物块从B到D的运动时间${t}_{2}=\frac{{v}_{B}-{v}_{D}}{a}=0.5s$；
所以，物块m由B运动到P所用时间t=t₁+t₂=0.9s；
（3）物块在P点的速度${v}_{P}=\frac{{v}_{y}}{sin45°}=4\sqrt{2}m/s$，那么由机械能守恒可得：$\frac{1}{2}m{{v}_{P}}^{2}=mgRcos45°+\frac{1}{2}m{{v}_{M}}^{2}$，所以，${v}_{M}=\sqrt{{{v}_{P}}^{2}-2gRcos45°}=\sqrt{32-8\sqrt{2}}m/s$；
物块m运动到M点时，轨道对物块的支持力做向心力，故有${F}_{N}′=\frac{m{{v}_{M}}^{2}}{R}=4-\sqrt{2}（N）$，方向水平向左；
故由牛顿第三定律可得：m对轨道的压力${F}_{N}={F}_{N}′=4-\sqrt{2}（N）$，方向水平向右；
答：（1）P点与桌面的水平距离为1.6m；
（2）物块m由B运动到P所用时间为0.9s；
（3）物块m运动到M点时，m对轨道的压力F_N为$4-\sqrt{2}（N）$，方向水平向右．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．