Question

19．如图所示，A球从倾角θ=30°的光滑斜面上某点由静止开始滚下，然后进入足够长的光滑水平面上，经M点时速度大小不发生变化，方向立刻变为水平向左．B球从M点开始向左做直线运动，g=10m/s²．
（1）若A球从斜面上某一高处静止滚下，同时B球以v₀=8m/s向左做匀速直线运动，A球的高度满足什么条件，A、B两球能发生碰撞；
（2）若A球从斜面上N点静止开始滚下，MN=10m，B球同时从M点由静止向左以加速度a=2m/s²做匀加速直线运动，问：经多长时间两球相碰？

Answer 1

分析 ①A到达水平面上的速度只要大于8m/s，A，B两球就可以发生碰撞，然后根据牛顿第二定律和运动学公式求A球的高度；
②二者相碰时水平面内的位移相等，据此列方程．

解答 解：①A到达水平面上的速度只要大于8m/s，A，B两球就可以发生碰撞，
A的加速度：a₁=gsin30°=5m/s² 
若到达低端的速度：v_t=a₁t=8m/s
得：t=$\frac{8}{5}$=1.6s
根据位移公式：s=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$×5×1.6²=6.4m  
h=s•sin30°=3.2m
则h满足的条件：h＞3.2m
②A球从N→M 过程，
a₁=gsin30°=5m/s² 
根据位移公式：s₁=$\frac{1}{2}$a₁t₁²  
得：t₁=$\sqrt{\frac{2×10}{5}}$=2s
V₁=a₁t₁=5×2=10m/s
A与B相碰时：$\frac{1}{2}$at²=V₁（t-2）
所以t=（5+$\sqrt{5}$）s或（5-$\sqrt{5}$）s
考虑到实际情况，取：t=（5-$\sqrt{5}$）s
答：
①若A球从斜面上某一高处静止滚下，同时B球以v₀=8m/s向左做匀速直线运动，A球的高度满足h＞3.2m，A、B两球能发生碰撞．
②若A球从斜面上N点静止开始滚下，MN=10m，B球同时从M点由静止向左以加速度a=2m/s²做匀加速直线运动，经时间（5-$\sqrt{5}$）s两者相碰．

点评 本题属于追及问题，第二问属于匀速追匀加速：若二者速度相等时还未追上则永远追不上，速度相等时有最小距离；灵活的运用牛顿第二定律和运动学公式是解决问题的基础．