在半径R=5000km的某星球表面.宇航员做了如下实验.实验装置如图甲所示．竖直平面内的光滑轨道由轨道AB和圆弧轨道BC组成.将质量m=0.2kg的小球.从轨道AB上高H处的某点静止滑下.用压力传感器测出小球经过C点时对轨道的压力F.改变H的大小.可测出相应的F大小.F随H的变化关系如图乙所示．求:(1)设轨道圆半径为r.星球表面的重力加速度为g.试推导� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

在半径R=5000km的某星球表面，宇航员做了如下实验，实验装置如图甲所示．竖直平面内的光滑轨道由轨道AB和圆弧轨道BC组成，将质量m=0.2kg的小球，从轨道AB上高H处的某点静止滑下，用压力传感器测出小球经过C点时对轨道的压力F，改变H的大小，可测出相应的F大小，F随H的变化关系如图乙所示．求：
（1）设轨道圆半径为r，星球表面的重力加速度为g，试推导出F与H的函数关系式
（2）圆轨道的半径r，及星球表面的重力加速度g．
（3）该星球的第一宇宙速度v₁多大？

分析：（1、2）小球从A到C运动的过程中，只有重力做功，机械能守恒，根据机械能守恒定律和牛顿第二定律求出小球对轨道C点的压力与H的关系式，然后结合F-H图线求出圆轨道的半径和星球表面的重力加速度．
（3）第一宇宙速度与贴着星球表面做匀速圆周运动的速度相等，根据万有引力等于重力mg=m

求出该星球的第一宇宙速度．

解答：解：（1）小球过C点时满足F+mg=m

vC2

又根据mg（H-2r）=

mv_C²
联立解得F=

2mg

H-5mg
（2）由题图可知：H₁=0.5m时F₁=0；H₂=1.0m时F₂=5N；
可解得g=5m/s² r=0.2m
（3）第一宇宙速度与贴着星球表面做匀速圆周运动的速度相等，
根据m

v12

=mg
可得v₁=

=5×10³m/s．
答：（1）F与H的函数关系式为F=

2mg

H-5mg；（2）圆轨道的半径r为0.2m，星球表面的重力加速度g为5m/s²；（3）该星球的第一宇宙速度为5×10³m/s．

点评：本题是牛顿运动定律与机械能守恒定律的综合题，解决本题的关键根据该规律得出压力F与H的关系式．

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