Question

12．一根细绳绕过光滑的定滑轮，两端分别系住质量为M和m的长方形物块，且M＞m，开始时用手握住M，使系统处于如图示状态．求：
（1）当M由静止释放下落h高时的速度（h远小于绳长，绳与滑轮的质量不计）．
（2）如果M下降h刚好触地，那么m上升的总高度是多少？

Answer 1

分析 （1）对M由静止释放下落h高过程，m、M进行受力分析，根据绳子不可伸长，两者的速度、加速度相等来求解；
（2）对M下降h刚好触地后，m进行受力分析，然后应用机械能守恒即可求得其继续上升的高度，进而求得上升的总高度．

解答 解：（1）M由静止释放下落h高过程，m、M只受重力和绳子弹力T作用，且两者所受的绳子弹力相等，m、M的速度始终相同，故两者的加速度相等，那么：
$a=\frac{Mg-T}{M}=\frac{T-mg}{m}$，所以，$a=\frac{M-m}{M+m}g$，则当M由静止释放下落h高时的速度$v=\sqrt{2ah}=\sqrt{2gh\frac{M-m}{M+m}}$；
（2）如果M下降h刚好触地，之后m继续上升，绳子的弹力为零，m只受重力作用，故应用机械能守恒可得m继续上升的高度为h′，则有：$mgh′=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
所以，$h′=\frac{{v}^{2}}{2g}=\frac{M-m}{M+m}h$；
所以，m上升的总高度$H=h+h′=\frac{2M}{M+m}h$；
答：（1）当M由静止释放下落h高时的速度为$\sqrt{2gh\frac{M-m}{M+m}}$；
（2）如果M下降h刚好触地，那么m上升的总高度是$\frac{2M}{M+m}h$；

点评 对物体的运动学问题，一般先对物体进行受力分析，然后利用机械能守恒、动能定理或匀变速运动规律来求解．