Question

如图所示，AB为半径R=0.8m的1/4光滑圆弧轨道，下端B恰与平板小车右端平滑对接．小车质量M=3kg，车长L=2.06m．现有一质量m=1kg的小滑块，由轨道顶端无初速释放，滑到B端后冲上小车．已知地面光滑，滑块与小车上表面间的动摩擦因数μ=0.3，当车运行了1.5s时，车被地面装置锁定．试求：（g=10m/s²）

（1）滑块到达B端时，轨道对它支持力的大小；
（2）车被锁定时，车右端距轨道B端的距离；
（3）从车开始运动到被锁定的过程中，滑块与平板车构成的系统损失的机械能；
（4）滑块滑离车左端时的动能．

Answer 1

分析：（1）滑块从光滑圆弧轨道过程，只有重力做功，机械能守恒．经过B端时由重力和轨道的支持力的合力提供向心力，根据机械能守恒定律和牛顿第二定律求解轨道的支持力．
（2）根据牛顿第二定律分别求出滑块滑上小车后滑块和小车的加速度，由速度公式求出两者速度所经历的时间，再求解车被锁定时，车右端距轨道B端的距离；
（3）从车开始运动到被锁定的过程中，系统损失的机械能转化为内能，求出滑块相对于小车滑动的距离，根据能量守恒定律求出系统损失的机械能．
（4）根据动能定理求解滑块滑离车左端时的动能．

解答：解：（1）滑块从光滑圆弧轨道过程，根据机械能守恒定律得
        mgR=

1

2

mv²
滑块经过B端时，由牛顿第二定律得：N-mg=m

v2

R

联立两式，代入数值得，轨道对滑块的支持力为N=3mg=30N                        
（2）当滑块滑上小车后，由牛顿第二定律，得
  对滑块有：-μmg=ma₁
  对小车有：umg=Ma₂
设经时间t两者达到共同速度，则有：v+a₁t=a₂t
解得t=1 s．由于1s＜1.5s，此时小车还未被锁定，两者的共同速度：v′=a₂t=1m/s，两者以共同速度运动时间为t′=0.5s．
故车被锁定时，车右端距轨道B端的距离：S=

1

2

a₂ t²+v′t′=1 m
（3）从车开始运动到被锁定的过程中，滑块相对小车滑动的距离
△S=

v+v′

2

t-

1

2

a₂t²=2m
所以系统损失的机械能即产生的内能为E=μmg△S=6J
（4）对小滑块在车被锁定后相对车滑动过程，由动能定理得
-μmg（L-△S）=E_K-

1

2

mv²
得，E_K=0.32 J
答：
（1）滑块到达B端时，轨道对它支持力的大小为30N；
（2）车被锁定时，车右端距轨道B端的距离为1m；
（3）从车开始运动到被锁定的过程中，滑块与平板车构成的系统损失的机械能为6J；
（4）滑块滑离车左端时的动能为0.32J．

点评：本题运用程序法进行分析．（2），（3），（4）问也可以运用动量守恒定律，牛顿第二定律结合运动学公式，更简便求解．