Question

如图所示，AB是倾角为θ的粗糙直轨道，BECD是圆心为O的光滑圆轨道，半径为R，与AB在B点相切．一质量为m质点，从直轨道上P点由静止释放，P、O、C三点在同一水平直线上，E为最低点，质点与AB直轨道动摩擦因数为μ，重力加速度为g，求：
（1）质点第一次通过E点向左运动时轨道对其支持力大小；
（2）质点在AB直轨道上运动的最大路程（质点没有脱离原轨道）；
（3）为了不脱离轨道在轨道上往复运动，则释放点改为P'点，则P'点离B的点距离最大不超过多少？

Answer 1

分析：（1）质点从P运动到E过程，根据动能定理求出质点通过E点时的速度大小．质点经过E点时，由重力和轨道的支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求解轨道的支持力大小；
（2）由于质点在粗糙斜面滑动时机械能不断减少，最终质点在以B点为最高点的圆弧上往复运动，通过B点的速度为零，对全过程，根据动能定理求出质点在AB直轨道上运动的最大路程；
（3）为了不脱离轨道在轨道上往复运动，质点运动的最高点为C点且速度v_C=0，根据动能定理求解P'点离B的点的距离．

解答：解：（1）根据动能定理得：
从P→E：mgR-μmgcosθ?Rcotθ=

1

2

m

v

2 E

在E点：FN-mg=m

v 2 E

R

联立解得，F_N=mg（3-2μcosθcotθ）
（2）最终通过B点时速度为O，对整个过程，运用动能定理得
     mgRcosθ-μmgcosθ?S_总=0
解得，S_总=

R

μ

（3）为了不脱离轨道在轨道上往复运动，质点运动的最高点为C点且速度v_C=0，
则 mg（Lsinθ-Rcosθ）-μmgcosθ?L=0
有：L=

Rcosθ

sinθ-μcosθ

=

R

tanθ-μ

答：（1）质点第一次通过E点向左运动时轨道对其支持力大小是mg（3-2μcosθcotθ）；
（2）质点在AB直轨道上运动的最大路程是

R

μ

；
（3）为了不脱离轨道在轨道上往复运动，释放点改为P'点，则P'点离B的点距离最大不超过

R

tanθ-μ

．

点评：本题综合应用了动能定理、圆周运动及圆周运动中能过最高点的条件，关键要抓住滑动摩擦力做功与总路程有关．