Question

两个可视为质点的小球a和b，用质量可忽略的刚性细杆相连，放置在一个光滑的半球面内，如图所示．已知小球a和b的质量之比为

3

：1，细杆长度是球面半径的

2

倍．两小球处于平衡状态时，设半球面对小球a的支持力为F_a，对小球b的支持力为F_b，细杆与水平面的夹角为θ，则（　　）

• A．θ=45°
• B．θ=15°
• C．F_a：F_b=

  3

  ：1
• D．F_a：F_b=1：

  3

Answer 1

分析：分别对两球及整体受力分析，由几何关系可得出两球受力的大小关系，及平衡时杆与水平方向的夹角；注意本题要用到相似三角形及正弦定理．

解答：解：因杆可以绕任一点转动，故若杆对a、b的作用力不沿杆，则杆不可能处于平衡状态，故杆对ab球的弹力一定沿杆，且对两球的作用力大小一定相等．
设细杆对两球的弹力大小为T，小球a、b的受力情况如图所示其中球面对两球的弹力方向指向圆心，即有：cosα=

2 2 R

R

=

2

2

．
解得：α=45°
故F_Na的方向为向上偏右，即β₁=90°-45°-θ=45°-θ
F_Nb的方向为向上偏左，即β₂=90°-（45°-θ）=45°+θ
两球都受到重力、细杆的弹力和球面的弹力的作用，过O作竖直线交ab于c点，设球面的半径为R，则oac与左侧力三角形相似；oac与右侧力三角相似；则由几何关系可得：

mag

OC

=

FNa

R

=

T

ac

mbg

OC

=

FNb

R

=

T

bc

解得：FNa=

3

FNb．
取a、b及细杆组成的整体为研究对象，由平衡条件得：
F_Na?sin β₁=F_Nb?sin β₂
即

3

F_Nb?sin（45°-θ）=F_Nb?sin（45°+θ）
解得：θ=15°．故B、C正确，A、D错误．
故选BC．

点评：本题的难点在于几何关系的确定，对学生的要求较点，只有找出合适的几何关系，才能找出突破本题的关键；应认真体会相似三角形及正弦定理的应用．难度很大．