Question

如图所示，一足够长的平板车静止在水平地面上，右端放有质量m₁=1.0kg的小物块a，物块与车的上表面间的动摩擦因数μ=0.5物体与车之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，距离车的右端L=11.5m处有一光滑平台，平台与一固定在地面上的半径R=0.9m的光滑半圆形轨道底端相切，半圆形轨道直径AOB竖直，车的上表面和平台的高度相同．平台的左端有一静止的质量为m₂=1.0kg的小物块b．某时刻车在外力作用下由静止开始以a=5.75m/s²的加速度向右做匀加速运动，车碰到平台后立即跟平台粘在一起，两小物块的碰撞没有能量损失（g=10.0m/s²）
求：
（1）两物块碰撞前瞬间小物块a的速度，
（2）碰撞后小物块b能否到达半圆形轨道的最高点？若能到达最高点，求物块在最高点对轨道的压力；
（3）小物块b落到车上的位置离A点的距离x．

Answer 1

分析：（1）由运动学公式求出小车与平台相碰时物块a的速度和与小车的相对位移，车停止运动后，物块a做在摩擦力作用下做匀减速运动，由动能定理求出两物块碰撞前瞬间小物块a的速度；
（2）两物块碰撞过程中动量守恒，机械能守恒，求出碰撞后b球的速度，假设小物块b能到达半圆形轨道的最高点，根据机械能守恒定律求出达到最高点的速度，再根据向心力公式求出b恰好到达最高点的速度，比较两个速度的大小即可判断；
（3）小物块b在最高点脱离轨道后做平抛运动，根据平抛运动的基本规律即可求解小物块b落到车上的位置离A点的距离．

解答：解：（1）设车由静止开始至与平台相撞前的运动时间为t，由运动学公式得：
L=

1

2

at2
解得：t=2s
因a₁=μg=5m/s²＜a
所以这段时间内物块与小车间发生相对运动，
在t时间内物块的位移为：
x₁=

1

2

a₁t²=10m
车与平台相撞时，物块距车右端的距离为：
x=L-x₁=1.5m
此时物块的速度为：
v₁=a₁t=10m/s
车停止运动后，设两物块碰撞前瞬间小物块a的速度为v₂，根据动能定理得：
-μm₁gx=

1

2

m₁v₂²-

1

2

m₁v₁²
解得：v₂=

85

m/s
（2）设两物块碰撞后的速度分别为v′₁、v′₂，两物块碰撞时无能量损失，碰撞前后系统动能相等，则有：
m₁v₂=m₁v′₁+m₂v′₂

1

2

m₁v₂²=

1

2

m₁v₁′²+

1

2

m₂v₂′²
解得：v′₁=0，v′2=

85

m/s
假设小物块b能到达半圆形轨道的最高点，设到达最高点的速度为v₄，根据机械能守恒定律得：

1

2

m₁v₂²=2m₂gR+

1

2

m₂v₄²
解得：v₄=7m/s
设物块b恰好能到达最高点的速度为v₀，则有
m₂g=m₂

v02

R

解得：v₀=3m/s
因为v₄＞v₀
所以能到达最高点．
设物块b到达最高点时轨道对物块的弹力为F_N，根据向心力公式有：
F_N+m₂g=m₂

v42

R

解得：F_N=44.4N
根据牛顿第三定律得：物块刚进入轨道时对轨道的压力为44.4N，方向竖直向上．
（3）小物块b在最高点脱离轨道后做平抛运动，有：
2R=

1

2

gt₁²
x=v₄t₁
解得：x=4.2m
答：（1）两物块碰撞前瞬间小物块a的速度为

85

m/s；
（2）碰撞后小物块b能到达半圆形轨道的最高点，物块在最高点对轨道的压力为44.4N；
（3）小物块b落到车上的位置离A点的距离为4.2m．

点评：本题主要考查了动量守恒、平抛运动、动能定理、向心力公式及运动学基本公式的应用，综合性较强，难度较大．