Question

如图所示，竖直环A半径为r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右两侧各有一挡板固定在地上，B不能左右运动，在环的最低点静放有一小球C，A、B、C的质量均为m．给小球一水平向右的瞬时速度v₀，使小球在环内侧做圆周运动，为保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起，初速度v₀必须满足（　　）

• A．最小值为

  4gr

• B．最大值为

  6gr

• C．最小值为

  5gr

• D．最大值为

  7gr

Answer 1

分析：小球在环内侧做圆周运动，通过最高点速度最小时，轨道对球的最小弹力为零，根据牛顿第二定律求出小球在最高点的最小速度；为了不会使环在竖直方向上跳起，小球在最高点对轨道的弹力不能大于2mg，根据牛顿第二定律求出最高点的最大速度，再根据机械能守恒定律求出小球在最低点的速度范围．

解答：解：在最高点，速度最小时有：mg=m

v 2 1

r

，解得：v₁=

gr

．
根据机械能守恒定律，有：2mgr+

1

2

mv₁²=

1

2

mv₁′²，解得：v₁′=

5gr

．
在最高点，速度最大时有：mg+2mg=m

v 2 2

r

，解得：v₂=

3gr

．
根据机械能守恒定律有：2mgr+

1

2

mv₂²=

1

2

mv₂′²，解得：v₂′=

7gr

．
所以保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起，在最低点的速度范围为：

5gr

≤v≤

7gr

．故D正确，A、B、C错误．
故选D．

点评：本题综合考查了牛顿第二定律和机械能守恒定律，关键理清在最高点的两个临界情况，求出在最高点的最大速度和最小速度．