Question

8．如图所示，光滑半圆轨道MNP竖直固定在水平面上，直径MP垂直于水平面，轨道半径R=0.5m，质量为m₁的小球A静止于轨道最低点M，质量为m₂的小球B以速度 v₀=4m/s从与P点等高处沿光滑曲面下滑，小球B与小球A碰后粘在一起恰能沿半圆轨道运动到P点．两球均可视为质点，g取10m/s²，试求：
①B球与A球碰前速度的大小；
②A、B两球的质量之比．

Answer 1

分析 ①B向下摆动过程中只有重力做功，机械能守恒，由机械能守恒定律可以求出两球碰前B球的速度．
②两球碰撞过程动量守恒，两球恰好到达P点，在P点重力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出在B点的速度，然后由动量守恒定律可以求出两球的质量之比．

解答 解：①B球下摆过程中机械能守恒，由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$m₂v₀²+m₂g•2R=$\frac{1}{2}$m₂v₁²，
代入数据解得：v₁=6m/s；
②两球恰好到达P点，由牛顿第二定律得：（m₁+m₂）g=（m₁+m₂）$\frac{{v}_{P}^{2}}{R}$，
代入数据解得：v_P=$\sqrt{5}$m/s，
两球从M到P过程中，由动能定理得：$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v_P²-$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v₂²=-（m₁+m₂）g•2R，
代入数据解得：v₂=5m/s；
两球碰撞过程动量守恒，以两球组成的系统为研究对象，以B球的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：
m₂v₁=（m₁+m₂）v₂，
代入数据解得：$\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}$=$\frac{1}{5}$；
答：①B球与A球相碰前的速度大小为6m/s；
②A、B两球的质量之比m₁：m₂=1：5．

点评 本题考查了求小球的速度、小球质量之比问题，分析清楚小球运动过程，应用机械能守恒定律、动能定理、牛顿第二定律、动量守恒定律即可正确解题．