Question

20．如图所示，光滑水平面右端B处连接一个竖直的半径为R的光滑半圆轨道，在离B距离为x的A点，用水平恒力将质量为m的质点从静止开始推到B处后撤去恒力，质点沿半圆轨道运动到C处后又正好落回A点，若不计空气阻力，重力加速度为g．求：
（1）推力对小球做了多少功？（用题中所给的量：m、g、R及x表示）
（2）x取何值时，完成上述运动所做的功最少？最少功为多少？
（3）x取何值时，完成上述运动所用的力最小？最小力为多少？

Answer 1

分析 （1）小球在恒定推力作用下，在光滑水平面做匀加速直线，当到达B点撤去恒力，让其在沿光滑半圆轨道运动到C处后，又正好落回A点．因小球离开C点后做平抛运动，已知高度与水平位移的情况下，可求出小球在C处的速度大小，选取从A到C过程，由动能定理可求出推力对小球所做的功．
（2）力F做功越小，小球到达B点的速度越小，到达最高点C的速度越小，当小球恰好到达C点时，由重力充当向心力，此时C点的速度最小，力F做功最小．先由牛顿第二定律求出小球通过C点的最小速度，根据（1）问的结果求出x，即可得到最小功；
（3）根据功与x的关系式，运用数学知识求解力最小时x的值及最小的力．

解答 解：（1）质点从半圆弧轨道做平抛运动后又回到A点，设在C点的速度为v_C，
质点从C点运动到A点所用的时间为t，
在水平方向：X=V_C≈•t，在竖直方向：2R=$\frac{1}{2}$gt²     
解得：v_C=$\frac{x}{2}\sqrt{\frac{g}{R}}$
对质点从A点到C点由动能定理有：W_F-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv_C²   
解得：W_F=$\frac{mg（16{R}^{2}+{x}^{2}）}{8R}$
（2）要使力F做功最少，确定x的取值，由W_F=mg•2R+$\frac{1}{2}$mv_C²可知，
只要质点在C点的速度最小，则W_F就最小，若质点恰好能通过C点，其在C点的最小速度为v，由牛顿第二定律有：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$   
即v=$\sqrt{gR}$，而$\frac{x}{2}\sqrt{\frac{g}{R}}$=$\sqrt{gR}$
解得：x=2R时，W_F最小，其最小值为W_F=2.5mgR
（3）由于W_F=$\frac{mg（16{R}^{2}+{x}^{2}）}{8R}$，而W_F=Fx
所以 F=$\frac{1}{8}mg（\frac{16R}{x}+\frac{x}{R}）$
由此可知：当$\frac{16R}{x}$=$\frac{x}{R}$，即x=4R时，力F最小，其最小值为mg．
答：
（1）推力对小球所做的功是$\frac{mg（16{R}^{2}+{x}^{2}）}{8R}$．
（2）x等于2R时，完成上述运动所做的功最少，最小功为2.5mgR．
（3）x取4R时，完成上述运动用力最小，最小力为mg．

点评 本题要挖掘隐含的临界条件：小球通过C点的最小速度为$\sqrt{gR}$，由动能定理求解F做功，再运用数学不等式知识求解极值．