Question

如图所示，倾角为α的光滑斜面与半径为R＝0.4 m半圆形光滑轨道在同一竖直平面内，其中斜面与水平面BE光滑连接，水平面BE长为L＝0.4 m，直径CD沿竖直方向，C、E可看做重合。现有一可视为质点的小球从斜面上距B点竖直距离为H的地方由静止释放，小球在水平面上所受阻力为其重力的。(取g＝10 m/s²)求：

(1)若要使小球经E处水平进入圆形轨道且能沿轨道运动，H至少要有多高？如小球恰能沿轨道运动，那么小球在水平面DF上能滑行多远？
(2)若小球静止释放处离B点的高度h小于(1)中H的最小值，小球可击中与圆心等高的G点，求此h的值。

Answer 1

（1）H≥0.28 m   5 m（2）0.18 m

试题分析：(1)小球从光滑斜面轨道下滑，机械能守恒，设到达B点时的速度大小为v，则
mgH＝mv²
因为小球在水平面所受阻力为其重力的，
根据牛顿第二定律a＝＝2 m/s²。
v_E²－v²＝－2aL
小球能在竖直平面内做圆周运动，在圆形轨道最高点必须满足：
mg≤m
联立以上几式并代入数据得：H≥0.28 m
小球恰能沿轨道运动，根据动能定理：
mg·2R－kmg·x＝0－mv_E²，x＝5 m。
(2)若h<H，小球过E点后做平抛运动，设球经E点时的速度大小为v_x，则击中半圆中点G时：
竖直方向：R＝gt²
水平方向：R＝v_xt
由动能定理：mgh－kmgL＝mv_x²
联立以上三式并代入数据得h＝0.18 m。