Question

在电视节目中我们常常能看到一种精彩的水上运动——滑水板，如图5-12所示.运动员在快艇的水平牵引力作用下，脚踏倾斜滑板在水上匀速滑行，设滑板是光滑的.若运动员与滑板的总质量为m=70 kg，滑板的总面积为S=0.12 m²，水的密度为ρ=1.0×10³ kg/m³.理论研究表明：当滑板与水平方向的夹角（板前端抬起的角度）为θ时，水对板的作用力大小为N＝ρSv²sin²θ，方向垂直于板面.式中v为快艇的牵引速度，S为滑板的滑水面积，求为了使滑板能在水面上滑行，快艇水平牵引滑板的最小速度.

图5-12

Answer 1

思路解析：从电视节目中可以看到，滑水运动员在快艇牵引下的滑行过程中，经常变换姿势，其实既是为使运动具有观赏性，也是出于平衡的需要.滑板与水平方向间的夹角θ与快艇的牵引速度v等都是互相联系的.要解决“快艇牵引滑板的最小速度”问题，首先需要弄清S、v、θ等物理量之间的相互关系.为此，选取滑板与运动员作为研究对象，对其作受力分析，滑板与运动员共受到三个力的作用：重力G、水对滑板的弹力N（方向与滑板板面垂直）及绳子对运动员的拉力F.为使问题简化，作为理想化处理，可不计水对滑板的阻力，受力图如图所示.由物体的平衡条件可得Ncosθ－mg=0.又由题中给出的理论模型N=ρSv²sin²θ

可得牵引速度为v=

即在运动员与滑板的质量一定、滑板的总面积S一定时，维持滑板平衡所需的牵引速度大小仅由滑板与水平方向的夹角θ决定.或者说，快艇对运动员与滑板的牵引速度v是滑板倾角θ的函数.当θ取某一值时，牵引速度有最小值.下面我们就用求函数极值的方法来求解最小速度问题.

令k=sin²θcosθ，则有k²=sin²θsin²θ（2cos²θ）.

由数学中的基本不等式abc≤（）³

可得k²≤()³=×()³，当且仅当2cos²θ=sin²θ，

即θ=arctan=54.7°时，k有最大值，即k_max=