Question

9．如图所示，质量均为1kg的物块AB静止在水平面上，A、B由劲度系数为3N/cm的轻弹簧相连，物块A套在竖直杆上，在竖直向上的力F作用下沿杆缓慢上移，已知物块A、B处于水平面时距离为16cm，弹簧原长为18cm，物块B与地面间动摩擦因数μ₁为0.75，物块A与杆间动摩擦因数μ₂为0.5，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）当A在地面时，B所受的摩擦力；
（2）当A上升到c点时，弹簧的弹力恰为使物块B运动的最小值，c点的高度为多少；
（3）B运动之前，力F随上升高度h的变化如图所示，求出坐标a、b、F_c的数值．

Answer 1

分析 （1）当A在地面时，由胡克定律求出弹簧的弹力，再由平衡条件求B所受的摩擦力；
（2）当A上升到c点时，弹簧的弹力恰使物块B运动时，B所受的静摩擦力达到最大值，对B，根据平衡条件，结合几何关系求c点的高度．
（3）以A为研究对象，分析受力情况，由平衡条件、胡克定律、求几何关系坐标a、b、F_c的数值．

解答 解：3N/cm=300N/m；18cm=0.18m，16cm=0.16m
（1）当A在地面时，由胡克定律得：弹簧的弹力大小为 F₁=k（l₀-l₁）=300×（0.18-0.16）=6N
对B，根据平衡条件可得，B所受的摩擦力大小为 f=F₁=6N，方向水平向右．
（2）B恰好要运动时，设弹簧的拉力为T，与水平方向之间的夹角为θ，则：
竖直方向：Tsinθ+F_N=mg，
水平方向：Tcosθ=μ₁F_N
拉力得：T=$\frac{{μ}_{1}mg}{cosθ+μsinθ}$=$\frac{{μ}_{1}mg}{\sqrt{1+{{μ}_{1}}^{2}}（cosαcosθ+sinαsinθ）}$=$\frac{{μ}_{1}mg}{\sqrt{1+{{μ}_{1}}^{2}}cos（α-θ）}$
其中：$cosα=\frac{1}{\sqrt{1+{{μ}_{1}}^{2}}}$，$sinα=\frac{{μ}_{1}}{\sqrt{1+{{μ}_{1}}^{2}}}$
可知，当θ=α时，弹簧的拉力T有最小值，所以C点的高度：${h}_{c}=\overline{AB}•tanθ$=$\overline{AB}•tanα=\overline{AB}•\frac{sinα}{cosα}={μ}_{1}•\overline{AB}=0.75×0.16m=0.12m$
（3）A缓慢向上运动，可以看作是匀速运动过程，同时考虑到F=10N时，向上的力F等于物体A的重力，所以A在a两点受到的弹簧的斜向上的弹力，则：
F-mg+Tsinθ-μ₂•Tcosθ=0
将F=10N以及其他数据代入，得：$cosθ=\sqrt{\frac{4}{5}}$
此时：$tanθ=\frac{1}{2}$
所以：${h}_{a}=\overline{AB}•tanθ$=$\frac{1}{2}×0.16$m=0.08m
根据：F-mg+Tsinθ-μ₂•Tcosθ=0
可知，当弹簧的弹力恰好等于0时，即弹簧的长度等于原长时，向上的推力F也可以等于10N，此时：
${h}_{b}=\sqrt{{L}_{0}^{2}-{\overline{AB}}^{2}}$=$\sqrt{0.1{8}^{2}-0.1{6}^{2}}=0.02\sqrt{17}$m≈0.0825m
h_c=0.12m时，$L=\sqrt{{\overline{AB}}^{2}+{h}_{c}^{2}}$=$\sqrt{0.1{8}^{2}+0.1{2}^{2}}$m≈0.216m
此时弹簧的拉力为：T=k•（L-L₀）=300×（0.216-0.18）=10.8N
对A进行受力分析可知，A受到重力、弹簧的拉力、杆的支持力、向下的摩擦力以及向上的力F的作用：F-mg-Tsinθ-μ₂•Tcosθ=0
代入数据得：F=20.8N
答：（1）当A在地面时，B所受的摩擦力是6N；
（2）当A上升到c点时，弹簧的弹力恰为使物块B运动的最小值，c点的高度为0.12m；
（3）B运动之前，力F随上升高度h的变化如图所示，坐标a、b的数值分别为0.08m和0.0825m，F_c的数值是20.8N．

点评 该题结合胡克定律考查共点力作用下物体的平衡，解答的关键是使物块B运动的拉力的最小值对应的角度与B的重力无关，解答该最小值对数学三角函数的变换关系要求较高．